La trigonométrie dans le triangle rectangle Cours

Sommaire

ICosinus, sinus et tangente d'un angle aiguACosinusBSinusCTangenteDDéterminer la mesure en degrés d'un angleIIRelations trigonométriques

On considère un triangle ABC rectangle en A :

  • Le côté \left[ AC \right] est appelé côté adjacent à l'angle \widehat{ACB}.
  • Le côté \left[ AB \right] est appelé côté opposé à l'angle \widehat{ACB}.
  • Le côté \left[ BC \right] est appelé l'hypoténuse du triangle ABC.
-
I

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

A

Cosinus

Cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à :

\cos\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • \cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}
  • \cos\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}

Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur d'un des côtés du triangle.

  • Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
  • Le cosinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.
B

Sinus

Sinus

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal à :

\sin\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • \sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}
  • \sin\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}

Le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur d'un des côtés du triangle.

  • Le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
  • Le sinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.
C

Tangente

Tangente

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égale à :

\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • \tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}
  • \tan\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}

La tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur d'un des cotés du triangle.

  • La tangente d'un angle aigu est toujours supérieure à 0, mais pas nécessairement inférieure à 1 comme le sinus et le cosinus.
  • La tangente d'un angle aigu n'a pas d'unité.
D

Déterminer la mesure en degrés d'un angle

Connaissant le cosinus, le sinus, ou la tangente d'un angle aigu, on peut retrouver la valeur de cet angle à l'aide des fonctions cos^{-1}, sin^{-1} et tan^{-1} de la calculatrice.

Veiller à ce que la calculatrice soit réglée en degrés.

II

Relations trigonométriques

Pour tout angle aigu \alpha, on a :

\left(\cos\left(\alpha\right)\right)^2+\left(\sin\left(\alpha\right)\right)^2=1

On considère un angle \alpha tel que \cos\left(\alpha\right)=\dfrac{3}{4}. On peut alors écrire :

cos^2\left(\alpha\right)+sin^2\left(\alpha\right)=1

Soit :

sin^2\left(\alpha\right)=1-cos^2\left(\alpha\right)

sin^2\left(\alpha\right)=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16}

Pour simplifier les notations, on peut noter cos^2\left(\alpha\right) à la place de \left(\cos\left(\alpha\right)\right)^2, et sin^2\left(\alpha\right) à la place de \left(\sin\left(\alpha\right)\right)^2.

Pour tout angle aigu \alpha non droit :

\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha\right)}{\cos\left(\alpha\right)}

On considère un angle \alpha tel que :

  • \cos\left(\alpha\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  • \sin\left(\alpha\right)=\dfrac{1}{2}

On a :

\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}={\dfrac{1}{2}}\times{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}