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Dernière modification : 31/08/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Produire une formule
Le double d'un nombre n est égal à 2 \times n et s'écrit 2n.
Le double de 0,25 est 2\times 0{,}25=0{,}5.
Le triple d'un nombre x est égal à 3 \times x et s'écrit 3x.
Le triple de 2,5 est 3\times 2{,}5=7{,}5.
La moitié d'un nombre a est égal à a \div2 et s'écrit \dfrac{a}{2} ou \dfrac{1}{2}a.
La moitié de 8,6 est \dfrac{8{,}6}{2}=4{,}3.
Le carré d'un nombre y est égal à y \times y et s'écrit y^2.
Le carré de 10 est égal à 10^2=10\times10=100.
Le carré d'un nombre c positif est l'aire d'un carré dont les côtés mesurent c unités.
Le successeur d'un nombre entier p est le nombre qui suit p dans l'ordre croissant des nombres entiers. C'est le nombre p+1.
Le successeur de 143 est 143+1=144.
Le prédécesseur d'un nombre entier q est le nombre qui précède q dans l'ordre croissant des nombres entiers. C'est le nombre q-1.
Le prédécesseur de 500 est 500-1=499.
Calculer la valeur d'une expression littérale par substitution
Calculer la valeur d'une expression littérale par substitution
Calculer la valeur d'une expression littérale par substitution consiste à remplacer une lettre par une valeur numérique dans une expression littérale, puis à effectuer le calcul numérique.
On souhaite calculer a^2-12+8a pour a=5 .
Dans l'expression littérale a^2-12+8a , on substitue la valeur numérique 5 à la lettre a :
5^2-12+8\times5
Puis on effectue le calcul numérique :
5^2-12+8\times5=25-12+40=-13+40=53
Cette méthode est mobilisée lorsqu'on calcule un périmètre ou une aire à l'aide d'une formule.
On veut calculer le périmètre d'un cercle de rayon 3 cm.
On utilise la formule générale du périmètre d'un cercle de rayon r : P=2\pi r
Puis on substitue la valeur 3 à la lettre r :
P=2 \times \pi \times 3
Et on effectue le calcul numérique :
P=2 \times \pi \times 3=2\times 3 \times \pi=6 \times \pi \approx 6 \times 3{,}14=18{,}84
Le périmètre d'un cercle de rayon 3 cm est donc environ égal à 18,84 cm.
On veut calculer l'aire d'un rectangle de longueur 4 m et de largeur 1,5 m.
On utilise la formule générale de l'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur \ell :
\mathcal{A}=L \times \ell
Puis on substitue la valeur 4 à la lettre L et la valeur 1,5 à la lettre \ell
\mathcal{A}=4 \times 1{,}5
Et on effectue le calcul numérique :
\mathcal{A}=4 \times 1{,}5=6
L'aire d'un rectangle de longueur 4 m et de largeur 1,5 m est égale à 6 m2.
Tester une égalité
On peut tester si une égalité entre expressions algébriques comportant une variable est vraie ou fausse. Dans chaque expression, on substitue des valeurs aux lettres et on compare les résultats obtenus.
Tester si une égalité entre deux expressions littérales est vraie ou fausse pour des valeurs données consiste à :
- substituer les valeurs numériques données aux lettres dans les deux expressions ;
- observer si les résultats sont égaux ou non.
Tester si l'égalité 2x+3=7-2x est vraie ou fausse pour x = 1 consiste à :
- remplacer x par 1 dans l'expression 2x + 3 et effectuer le calcul ;
- remplacer x par 1 dans l'expression 7 - 2x et effectuer le calcul ;
- vérifier si les deux résultats obtenus sont égaux.
Ici :
- Pour x = 1 : on obtient 2x+3=2\times 1+3=2+3=5.
- Pour x = 1 : on obtient 7-2x = 7-2\times 1=7-2=5.
- Les résultats obtenus sont égaux pour x=1.
On en conclut que l'égalité 2x+3=7-2x est vraie pour x=1.
Tester si l'égalité x^2+1=10+2x est vraie ou fausse pour x = 4 consiste à :
- remplacer x par 4 dans l'expression x^2+1 et effectuer le calcul ;
- remplacer x par 4 dans l'expression 10 + 2x et effectuer le calcul ;
- vérifier si les deux résultats obtenus sont égaux.
Ici :
- Pour x = 4 : on obtient x^2+1=4^2+1=16+1=17.
- Pour x = 4 : on obtient 10+2x=10+2 \times 4=10+8=18.
- Les résultats obtenus ne sont pas égaux pour x=4.
On en conclut que l'égalité x^2+1=10+2x est fausse pour x=4.
Attention à la signification du signe « = » quand on teste une égalité. Dans ce cas, l'égalité est vue comme une affirmation qui peut être vraie ou fausse.
Quand on teste l'égalité x+1=12 pour x=-5, on se demande si l'égalité x+1=12 est vraie ou fausse quand x=-5.
Il peut être demandé d'effectuer des essais pour obtenir une valeur donnant l'égalité de deux expressions littérales en utilisant un tableur. En effet, l'utilisation d'un tableur permet de tester rapidement plusieurs valeurs.
On demande de tester l'égalité 4a+7=67-2a pour plusieurs valeurs entières de a avec un tableur.
On observe que la valeur a=10 donne l'égalité 4a+7=67-2a.
La simple distributivité
Nature d'une expression littérale
Dans une expression littérale, si la dernière opération à effectuer en suivant les règles de priorité est une addition, alors cette expression littérale est une somme.
L'expression littérale 3x+5 est une somme.
En effet, en respectant les règles de priorité, on effectue d'abord le produit 3 \times x, puis on additionne 5.
Dans une expression littérale, si la dernière opération à effectuer en suivant les règles de priorité est une soustraction, alors cette expression littérale est une différence.
L'expression littérale x-(y+7) est une différence.
En effet, en respectant les règles de priorité, on effectue d'abord le calcul entre parenthèses : la somme y+7, et ensuite on effectue la soustraction.
Dans une expression littérale, si la dernière opération à effectuer en suivant les règles de priorité est une multiplication, alors cette expression littérale est un produit.
L'expression littérale (5 -a) \times b est un produit.
En effet, en respectant les règles de priorité, on effectue d'abord le calcul entre parenthèses : la différence 5-a, et ensuite on effectue la multiplication par b.
Propriété de la simple distributivité
Simple distributivité
On considère trois nombres quelconques k, a et b.
On a :
- k \times (a+b)=k\times a+k\times b
- k \times (a-b)=k\times a-k\times b
On dit alors que l'on distribue k aux termes contenus entre les parenthèses, soit a et b.
La multiplication peut être distributive par rapport à l'addition k\times (a+b)=k\times a+k\times b, ou bien par rapport à la soustraction k\times (a-b)=k\times a-k\times b).
- 3\times(x+y)=3\times x+3\times y=3x+3y
- x\times(x-1)=x\times x-x\times 1=x^2+x
On peut visualiser la simple distributivité en termes d'égalité d'aires de rectangles.
L'aire du rectangle bleu est égale à la somme des aires du rectangle rose et du rectangle jaune.
En calcul littéral, le signe \times peut être omis entre deux lettres ou entre une lettre et une parenthèse.
La simple distributivité peut donc s'écrire :
- k (a+b)=k a+k b
- k(a-b)=k a-k b
La simple distributivité peut s'utiliser dans deux sens.
Si on utilise la simple distributivité pour passer d'un produit à une somme (ou une différence), on dit que l'on développe :
k \times (a+b)=k \times a + k \times b
Si on utilise la simple distributivité pour passer d'une somme (ou une différence) à un produit, on dit que l'on factorise.
k \times a + k \times b=k \times (a+b)
- Quand on écrit a \times (b+4)=a \times b + a \times 4, on développe.
- Quand on écrit 5 \times p + 5 \times q=5 \times (p+q), on factorise.
Applications de la simple distributivité
Réduire une expression littérale
Réduire une expression littérale consiste à écrire cette expression littérale sous la forme ax+b, où a et b sont des nombres décimaux.
Pour réduire une expression littérale, on utilise la simple distributivité.
On veut réduire l'expression : 3x+5x.
On commence par écrire les signes \times sous-entendus : 3\times x+5\times x.
On factorise grâce à la simple distributivité : 3\times \textcolor{Red}{x}+5\times \textcolor{Red}{x}=(3+5)\times \textcolor{Red}{x}.
On simplifie l'expression ainsi obtenue : (3+5)\times x=8\times x=8x.
En définitive, on a : 3x+5x=8x.
Montrer qu'une affirmation est vraie ou fausse à l'aide du calcul littéral
On peut montrer qu'une affirmation est vraie en traduisant cette propriété à l'aide d'expressions littérales dont on montre l'égalité.
On souhaite démontrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.
On commence par exprimer le fait général qu'un nombre est pair.
Un nombre pair est un nombre qui est un multiple de 2. Il peut donc s'écrire pour comme le double d'un nombre, c'est-à-dire sous la forme 2n où n est un nombre entier.
Par conséquent, on peut écrire la somme de deux nombres pairs ainsi : 2p+2m où p et m sont deux nombres entier quelconques.
On factorise cette expression à l'aide de la simple distributivité :
2p+2m=2 \times p + 2 \times + = 2\times (p+m)=2(p+m).
Le résultat obtenu est de la forme 2n avec n=p+m. C'est donc un nombre pair.
On a finalement montré que 2p+2m est un nombre pair, c'est-à-dire que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.
Contre-exemple
Un contre-exemple est un exemple qui contredit une affirmation.
Pour contredire l'affirmation « tous les triangles sont équilatéraux », on peut donner comme contre-exemple le triangle dont les côtés mesurent 4 cm, 5 cm et 6 cm.
On peut montrer qu'une affirmation est fausse en utilisant un contre-exemple.
On souhaite prouver que l'affirmation « La somme de deux nombre entiers est un nombre impair » est fausse.
On exhibe un contre-exemple en trouvant deux nombres entiers dont la somme n'est pas un nombre impair.
Autrement dit, on trouve deux nombres entiers dont la somme est un nombre pair, par exemple 10 et 12.
On a : 10+12=22 et on observe que 22 n'est pas un nombre impair.
Par conséquent, les nombres 10 et 12 forment un contre-exemple à l'affirmation « La somme de deux nombre entiers est un nombre impair ».
On en conclut que l'affirmation « La somme de deux nombre entiers est un nombre impair » est fausse.
Conjecture
En mathématiques, une conjecture est une supposition, une proposition, une affirmation dont on ne sait pas si elle est vraie ou fausse.
Une conjecture est émise sur la base d'observations, de motifs apparents, ou de résultats. L'utilisation du tableur et la programmation d'algorithmes sont une aide à la formulation de conjecture.
On considère le programme de calcul suivant :
- On choisit un nombre.
- On lui ajoute 2.
- On multiplie le résultat obtenu par 3.
- On soustrait 6 au résultat obtenu.
On utilise un tableur pour tester ce programme avec des nombres.
On crée une première colonne pour faire figurer les valeurs du nombre choisi au départ, et une seconde pour faire figurer les valeurs du résultat obtenu à l'arrivée.
On entre la formule correspondant au programme de calcul dans la cellule B2 :
Pour la première colonne, on prend par exemple des valeurs de 0 à 10,5, avec un pas de 0,5.
Puis on étire vers le bas.
On observe que pour chaque ligne, le résultat affiché est égal au triple du nombre choisi au départ.
On peut émettre la conjecture suivante : « Quel que soit le nombre de départ choisi, le résultat obtenu avec ce programme de calcul est égal au triple du nombre de départ ».
À ce stade, cette conjecture représente une supposition, une affirmation dont on ne sait pas si elle est vraie ou fausse.
Résoudre des équations
Vocabulaire
Équation
Une équation est une égalité entre deux expressions. Elle comporte au moins une lettre. Cette lettre représente un nombre inconnu appelé inconnue de l'équation et que l'on cherche à déterminer.
3x+1=10 est une équation d'inconnue x.
On cherche à déterminer la valeur numérique du nombre x.
Résoudre une équation
Résoudre une équation d'inconnue x revient à chercher et à trouver la valeur du nombre x pour laquelle l'égalité est vraie. Cette valeur est appelée solution de l'équation.
Résoudre l'équation 3x+1=10 revient à chercher et à trouver la valeur de x pour laquelle l'égalité 3x+1=10 est vraie.
Ici, le nombre 3 est solution de l'équation car 3 \times 3 + 1 = 9 + 1 = 10.
Équations du type ax=c
Résoudre une équation du type ax=c d'inconnue x, où le nombre a est non nul, revient à résoudre une multiplication à trou.
Pour résoudre l'équation, il suffit de diviser le nombre c par le nombre a.
On cherche à résoudre l'équation 4x=7 d'inconnue x.
Cela revient à chercher le nombre manquant dans la multiplication à trou : 4 \times \text{...}=7.
Cela revient à effectuer la division 7 \div 4.
On obtient 1,75.
La solution de l'équation 4x=7 d'inconnue x est donc x=1{,}75.
Pour résoudre l'équation précédente, 4x=7, on peut également effectuer le raisonnement suivant :
On connaît la valeur de 4x. C'est 7.
Pour trouver la valeur de x, il suffit de diviser la valeur de 4x par 4, c'est-à-dire à effectuer la division 7 \div 4.
On obtient 1,75.
On peut visualiser ainsi :
Ou ainsi :
Quand on a trouvé la valeur de l'inconnue que l'on cherchait, on prend l'habitude de vérifier que cette solution fonctionne bien.
Pour cela, on teste l'égalité en substituant la valeur obtenue à la lettre qui représente l'inconnue.
Par exemple, pour l'équation 4x=7 on a trouvé x=1{,}75.
On effectue la vérification en testant l'égalité 4x=7 avec x=1{,}75 :
4 \times 1{,}75=7
L'égalité est donc vraie pour x=1{,}75.
Résoudre une équation du type \dfrac{x}{a}=c d'inconnue x et où a est non nul fonctionne sur le même principe.
On souhaite résoudre l'équation \dfrac{x}{3}=2.
On peut visualiser la résolution ainsi :
La solution de l'équation est x=6.
Vérification : \dfrac{6}{3}=6 \div 3 =2.
Équations du type x+b=c
Résoudre une équation du type x+b=c d'inconnue x revient à résoudre une addition à trou.
Pour résoudre l'équation, il suffit d'effectuer la soustraction c-b.
On cherche à résoudre l'équation x+3=20 d'inconnue x.
Cela revient à chercher le nombre manquant dans la multiplication à trou : \text{...}+3=20.
Cela revient à effectuer la division 20-3.
On obtient 17.
La solution de l'équation x+3=20 d'inconnue x est donc x=17.
Pour résoudre l'équation précédente, x+3=20, on peut également effectuer le raisonnement suivant :
On connaît la valeur de x+3. C'est 20.
Pour trouver la valeur de x, il suffit d'enlever 3 à 20, c'est-à-dire d'effectuer la division 20-3.
On obtient 17.
On peut visualiser ainsi :
Ou ainsi :
Quand on a trouvé valeur de l'inconnue que l'on cherchait, on prend l'habitude de vérifier que cette solution fonctionne bien.
Pour cela, on teste l'égalité en substituant la valeur obtenue à la lettre qui représente l'inconnue.
Par exemple, pour l'équation x+3=20 on a trouvé 17.
On effectue la vérification en testant l'égalité x+3=20 avec x=17 :
3+17=20
L'égalité est donc vraie pour x=17.