Une fonction f est dite affine si elle est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et si elle admet une expression du type :
\(\displaystyle{f\left(x\right) = ax + b}\)
Où a et b sont des réels quelconques.
La fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+5}\) est une fonction affine.
B
Le sens de variation
On considère une fonction f affine d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax+b}\).
Cas 1
Si \(\displaystyle{a \lt 0}\), \(\displaystyle{f}\) est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
Cas 2
Si \(\displaystyle{a \gt 0}\), \(\displaystyle{f}\) est strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
La fonction affine définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=-3x+4}\) est une fonction strictement décroissante car \(\displaystyle{a=-3\lt0}\).
La fonction affine définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=7x-1}\) est une fonction strictement croissante car \(\displaystyle{a=7\gt0}\).
C
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction affine f d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) = ax + b}\) est la droite d'équation \(\displaystyle{y = ax + b}\).
Si \(\displaystyle{a = 0}\), la fonction est constante égale à \(\displaystyle{b}\), et sa droite représentative est parallèle à l'axe des abscisses.
Si \(\displaystyle{b = 0}\), la fonction est dite linéaire, et sa droite représentative passe par l'origine du repère.
On considère une fonction f affine d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) = ax + b}\).
Cas 1
Si \(\displaystyle{a \gt 0}\)
La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine f définie pour tout réel x par :
\(\displaystyle{f\left(x\right)=x+1}\)
Cas 2
Si \(\displaystyle{a \lt 0}\)
La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine f définie pour tout réel x par :
\(\displaystyle{f\left(x\right)=-x+1}\)
Cas 3
Si \(\displaystyle{a = 0}\)
La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine f définie pour tout réel x par :
\(\displaystyle{f\left(x\right)=3}\)
II
La fonction carré
A
Définition
Fonction carré
La fonction carré f, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), a pour expression :
\(\displaystyle{f\left(x\right) = x^{2}}\)
B
Le sens de variation
La fonction carré est :
Décroissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty;0 \right]}\)
Croissante sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\)
Son tableau de variations est le suivant :
C
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
III
La fonction racine carrée
A
Définition
Fonction racine carrée
La fonction racine carrée f, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+}}\), a pour expression :
\(\displaystyle{f\left(x\right) = \sqrt{x}}\)
B
Le sens de variation
La fonction racine carrée est croissante sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\).
C
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction racine est la suivante :
IV
La fonction cube
A
Définition
Fonction cube
La fonction cube \(\displaystyle{f}\), définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), a pour expression :
\(\displaystyle{f\left(x\right) = x^{3}}\)
B
Le sens de variation
La fonction cube est croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). Son tableau de variations est le suivant :
C
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction cube est la suivante. Elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.
V
La fonction inverse
A
Définition
Fonction inverse
La fonction inverse \(\displaystyle{f}\), définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\), a pour expression :
\(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}}\)
B
Le sens de variation
La fonction inverse est décroissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty;0 \right[}\) et sur \(\displaystyle{\left]0;+\infty \right[}\). Son tableau de variations est le suivant :
C
La courbe représentative
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole dont le centre est l'origine O du repère.