Les fonctions de référence Cours

I

Les fonctions affines

A

Définition

Fonction affine

Une fonction f est dite affine si elle est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et si elle admet une expression du type :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = ax + b}\)

a et b sont des réels quelconques.

La fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+5}\) est une fonction affine.

B

Le sens de variation

On considère une fonction f affine d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax+b}\).

Cas 1

Si \(\displaystyle{a \lt 0}\), \(\displaystyle{f}\) est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)

-
Cas 2

Si \(\displaystyle{a \gt 0}\), \(\displaystyle{f}\) est strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)

-

La fonction affine définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=-3x+4}\) est une fonction strictement décroissante car \(\displaystyle{a=-3\lt0}\).

La fonction affine définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=7x-1}\) est une fonction strictement croissante car \(\displaystyle{a=7\gt0}\).

C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction affine f d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) = ax + b}\) est la droite d'équation \(\displaystyle{y = ax + b}\).

  • Si \(\displaystyle{a = 0}\), la fonction est constante égale à \(\displaystyle{b}\), et sa droite représentative est parallèle à l'axe des abscisses.
  • Si \(\displaystyle{b = 0}\), la fonction est dite linéaire, et sa droite représentative passe par l'origine du repère.

On considère une fonction f affine d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) = ax + b}\).

Cas 1

Si \(\displaystyle{a \gt 0}\)

-

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine f définie pour tout réel x par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=x+1}\)

Cas 2

Si \(\displaystyle{a \lt 0}\)

-

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine f définie pour tout réel x par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=-x+1}\)

Cas 3

Si \(\displaystyle{a = 0}\)

-

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine f définie pour tout réel x par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=3}\)

II

La fonction carré

A

Définition

Fonction carré

La fonction carré f, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), a pour expression :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = x^{2}}\)

B

Le sens de variation

La fonction carré est :

  • Décroissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty;0 \right]}\)
  • Croissante sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\)

Son tableau de variations est le suivant :

-
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

-
III

La fonction racine carrée

A

Définition

Fonction racine carrée

La fonction racine carrée f, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+}}\), a pour expression :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \sqrt{x}}\)

B

Le sens de variation

La fonction racine carrée est croissante sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\).

-
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction racine est la suivante :

-
IV

La fonction cube

A

Définition

Fonction cube

La fonction cube \(\displaystyle{f}\), définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), a pour expression :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = x^{3}}\)

B

Le sens de variation

La fonction cube est croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). Son tableau de variations est le suivant :

-
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction cube est la suivante. Elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.

-
V

La fonction inverse

A

Définition

Fonction inverse

La fonction inverse \(\displaystyle{f}\), définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\), a pour expression :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}}\)

B

Le sens de variation

La fonction inverse est décroissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty;0 \right[}\) et sur \(\displaystyle{\left]0;+\infty \right[}\). Son tableau de variations est le suivant :

-
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole dont le centre est l'origine O du repère.

-

Sommaire

ILes fonctions affinesADéfinitionBLe sens de variationCLa courbe représentativeIILa fonction carréADéfinitionBLe sens de variationCLa courbe représentativeIIILa fonction racine carréeADéfinitionBLe sens de variationCLa courbe représentativeIVLa fonction cubeADéfinitionBLe sens de variationCLa courbe représentativeVLa fonction inverseADéfinitionBLe sens de variationCLa courbe représentative