Les fonctions de référence Cours

Les fonctions affines

Définition

Fonction affine

Une fonction f est dite affine si elle est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et si elle admet une expression du type :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = ax + b}\)

Où a et b sont des réels quelconques.

La fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+5}\) est une fonction affine.

Le sens de variation

On considère une fonction f affine d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax+b}\).

Cas 1

Si \(\displaystyle{a \lt 0}\), \(\displaystyle{f}\) est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)

Cas 2

Si \(\displaystyle{a \gt 0}\), \(\displaystyle{f}\) est strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)

La fonction affine définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=-3x+4}\) est une fonction strictement décroissante car \(\displaystyle{a=-3\lt0}\).

La fonction affine définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=7x-1}\) est une fonction strictement croissante car \(\displaystyle{a=7\gt0}\).

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction affine f d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) = ax + b}\) est la droite d'équation \(\displaystyle{y = ax + b}\).

Si \(\displaystyle{a = 0}\), la fonction est constante égale à \(\displaystyle{b}\), et sa droite représentative est parallèle à l'axe des abscisses.
Si \(\displaystyle{b = 0}\), la fonction est dite linéaire, et sa droite représentative passe par l'origine du repère.

On considère une fonction f affine d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) = ax + b}\).

Cas 1

Si \(\displaystyle{a \gt 0}\)

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine f définie pour tout réel x par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=x+1}\)

Cas 2

Si \(\displaystyle{a \lt 0}\)

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine f définie pour tout réel x par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=-x+1}\)

Cas 3

Si \(\displaystyle{a = 0}\)

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine f définie pour tout réel x par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=3}\)

La fonction carré

Définition

Fonction carré

La fonction carré f, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), a pour expression :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = x^{2}}\)

Le sens de variation

La fonction carré est :

Décroissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty;0 \right]}\)
Croissante sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\)

Son tableau de variations est le suivant :

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

III

La fonction racine carrée

Définition

Fonction racine carrée

La fonction racine carrée f, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+}}\), a pour expression :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \sqrt{x}}\)

Le sens de variation

La fonction racine carrée est croissante sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\).

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction racine est la suivante :

La fonction cube

Définition

Fonction cube

La fonction cube \(\displaystyle{f}\), définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), a pour expression :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = x^{3}}\)

Le sens de variation

La fonction cube est croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). Son tableau de variations est le suivant :

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction cube est la suivante. Elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.

La fonction inverse

Définition

Fonction inverse

La fonction inverse \(\displaystyle{f}\), définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\), a pour expression :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}}\)

Le sens de variation

La fonction inverse est décroissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty;0 \right[}\) et sur \(\displaystyle{\left]0;+\infty \right[}\). Son tableau de variations est le suivant :