Résoudre graphiquement une inéquationMéthode

Grâce aux courbes représentatives des fonctions de référence, on peut déterminer graphiquement les solutions de certaines inéquations du type f\left(x\right) \gt a ou f\left(x\right) \lt a.

Résoudre graphiquement sur \mathbb{R} l'inéquation x^2-9 \gt 0.

Etape 1

Identifier la fonction de référence et tracer sa courbe représentative

On se ramène à une inéquation du type f\left(x\right) \gt a ou f\left(x\right) \lt a, où f est une fonction de référence classique.

On trace C_f, la courbe représentative de f, dans un repère.

Pour tout réel x :

x^2 -9 \gt 0 \Leftrightarrow x^2 \gt 9

On va utiliser la courbe représentative de x\longmapsto x^2 que l'on trace dans un repère orthonormal.

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Etape 2

Tracer la droite d'équation y=a

Sur le même repère, on trace la droite horizontale d'équation y = a.

On trace la droite d'équation y=9 dans le même repère.

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Etape 3

Réciter le cours

On récite le cours :

  • Les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \gt a sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés au-dessus de la droite d'équation y=a.
  • Les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \lt a sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés en dessous de la droite d'équation y=a.

Les solutions de l'inéquation f\left(x\right) \gt 9 sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés au-dessus de la droite d'équation y=9.

Etape 4

Résoudre graphiquement l'inéquation

On détermine graphiquement les solutions de l'inéquation.

Selon que l'inégalité est stricte ou large dans l'inéquation, on veille à choisir l'intervalle de solutions ouvert ou fermé.

Graphiquement, on détermine que les points de C_f situés au-dessus de la droite ont des abscisses comprises dans la réunion d'intervalles \left] -\infty ;-3 \right[ \cup \left] 3 ;+\infty \right[.

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Graphiquement, l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

S=\left] -\infty ;-3 \right[ \cup \left] 3 ;+\infty \right[