Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
\dfrac{1}{x} \gt 3
Comme \dfrac{1}{x} \gt 3, on a nécessairement x \gt 0.
Or, sur l'intervalle \left]0;+\infty\right[, la fonction inverse est strictement décroissante.
On obtient donc :
\dfrac{1}{x} \gt 3\Leftrightarrow 0 \lt x \lt \dfrac{1}{3}
L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc \left]0;\dfrac{1}{3}\right[.
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
\sqrt{x}\leq 2
Comme la fonction racine carrée est définie sur \mathbb{R_+} et que pour tout x\in\mathbb{R_+}, \sqrt{x}\geq0
On a donc :
0\leqslant \sqrt{x} \leqslant 2
Or, sur l'intervalle \left[0;+\infty\right[, la fonction carrée est strictement croissante.
On obtient donc :
0\leqslant \sqrt{x} \leqslant 2 \Leftrightarrow 0\leqslant x\leqslant 4
L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc \left[0;4\right].
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
x^2\leq 2
Comme la fonction carrée est définie sur \mathbb{R} et que pour tout x\in\mathbb{R}, x^2\geq0.
On a donc :
0\leqslant x^2 \leqslant 2
Or, sur l'intervalle \left[0;+\infty\right[, la fonction racine carrée est strictement croissante.
On obtient donc :
x^2 \leqslant 2 \Leftrightarrow \left| x \right| \leqslant \sqrt{2} \Leftrightarrow -\sqrt{2} \leqslant x \leqslant\sqrt{2}
L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right].
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
\dfrac{1}{x}\leq -3
Comme \dfrac{1}{x} \leqslant -3, on a nécessairement x \lt 0.
Or, sur l'intervalle \left]-\infty;0\right[, la fonction inverse est strictement décroissante.
On obtient donc :
\dfrac{1}{x}\leqslant- 3\Leftrightarrow -\cfrac{1}{3} \leqslant x \lt 0
L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc \left[ -\cfrac{1}{3};0 \right[.
Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
\dfrac{1}{x}\leq 2
La fonction inverse est définie sur \mathbb{R^*}. L'inéquation n'est donc pas définie pour x=0.
- Supposons que x\in\left]0;+\infty\right[.
Nous savons que la fonction inverse est strictement décroissante sur \left]0;+\infty\right[.
On en déduit donc :
\cfrac{1}{x} \leqslant 2 \Leftrightarrow x\geq \cfrac{1}{2}
- Supposons à présent que x\in\left]-\infty;0\right[.
On a donc :
\cfrac{1}{x} \lt 0 car x \lt 0
Or 0 \leqslant 2, donc :
\cfrac{1}{x} \leqslant 2
Ainsi, on a \cfrac{1}{x} \leqslant 2 si et seulement si x \lt 0 ou x\geq\cfrac{1}{2}.
L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc \left] -\infty;0 \right[\cup\left[ \cfrac{1}{2};+\infty \right[.