Définitions et propriétés des fractions
Les nombres que l'on peut rencontrer dans la vie courante ne sont pas tous des nombres entiers. Lorsque l'on cherche à représenter une partie d'un ensemble, on utilise souvent des écritures fractionnaires. Certaines propriétés des fractions sont à connaître.
Définitions
On dit que \dfrac{a}{b} est l'écriture fractionnaire du quotient a\div b. Une fraction est composée d'un numérateur et d'un dénominateur.
Fraction d'une quantité
Les nombres a et b sont des entiers, avec b\neq0.
La fraction d'une quantité \dfrac{a}{b} (lire « a sur b ») représente une portion d'une quantité :
- Le nombre b indique en combien de parts égales on a divisé cette quantité.
- Le nombre a indique combien de ces parts on choisit.
Manon a mangé les \dfrac{3}{8} du gâteau. Cela signifie que si l'on découpe le gâteau en 8 parts égales, Manon en a mangé 3.
Numérateur
Soit \dfrac{a}{b} une fraction. Le nombre a est le numérateur de la fraction.
Dans la fraction \dfrac{3}{8}, le nombre 3 est le numérateur.
Dénominateur
Soit \dfrac{a}{b} une fraction. Le nombre b est le dénominateur de la fraction.
Dans la fraction \dfrac{3}{8}, le nombre 8 est le dénominateur.
Le dénominateur b ne peut jamais être égal à 0, la division par 0 est impossible.
La fraction \dfrac{51}{0} n'existe pas.
Écriture fractionnaire
La fraction \dfrac{a}{b} est un nombre égal au quotient de la division de a par b :
\dfrac{a}{b} = a \div b
On dit que \dfrac{a}{b} est l'écriture fractionnaire du quotient.
Le quotient 75\div14 a pour écriture fractionnaire \dfrac{75}{14}.
Les propriétés des fractions
Les écritures fractionnaires correspondent à une écriture simplifiée de la représentation d'un nombre. Il est possible d'écrire une fraction sous la forme d'un nombre entier et d'une fraction dont le numérateur est strictement inférieur au dénominateur.
Lorsque la division de a par b ne se termine pas (le reste ne vaut jamais 0), la fraction \dfrac{a}{b} représente la valeur exacte du quotient de cette division.
Dans la division de 5 par 3, le quotient ne possède pas une écriture décimale exacte, on a :
5\div3=1{,}666...
On peut exprimer la valeur exacte de ce quotient à l'aide de la fraction \dfrac53.
La fraction \dfrac{a}{b} est le nombre qui, lorsqu'on le multiplie par b, est égal à a :
\dfrac{a}{b} \times b = a
\dfrac37 \times 7 = 3
Toute fraction peut s'écrire sous la forme d'un entier et d'une fraction dont le numérateur est strictement inférieur au dénominateur.
On cherche à écrire la fraction \dfrac{7}{3} sous la forme d'un entier et d'une fraction dont le numérateur est inférieur au dénominateur.
On a :
\dfrac{7}{3}=\dfrac{6}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{1}+\dfrac{1}{3} =2+\dfrac{1}{3}
Pour décomposer une fraction \dfrac{a}{b} sous la forme de la somme d'un entier et d'une fraction dont le numérateur est strictement inférieur au dénominateur, on peut poser la division entière (euclidienne) de a par b.
On cherche à écrire \dfrac{12}{5} sous la forme d'une somme d'un entier et d'une fraction dont le numérateur est strictement inférieur au dénominateur.
On pose la division de 12 par 5 :
On a donc :
12=2\times 5+2
Soit :
12=10+2
Ainsi :
\dfrac{12}{5}=\underbrace{\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}+\dots+\dfrac{1}{5}}_{10\text{ fois}}+\underbrace{\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}}_{2\text{ fois}}
\dfrac{12}{5}=\dfrac{10}{5}+\dfrac{2}{5}
\dfrac{12}{5}=2+\dfrac{2}{5}
Si a et b sont des entiers, avec b\neq 0, alors :
\dfrac{a}{b}=\underbrace{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dots+\dfrac{1}{b}}_{a\text{ fois}}=a\times \dfrac{1}{b}
\dfrac{7}{3}=\underbrace{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{3}}_{7\text{ fois}}=7\times \dfrac{1}{3}
L'égalité des fractions
Il existe plusieurs écritures fractionnaires d'une même proportion. Il existe donc de nombreuses fractions différentes correspondant à une fraction donnée. On parle alors de fractions égales.
Deux fractions sont égales si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
\dfrac{5}{2}=\dfrac{3\times5}{3\times2}=\dfrac{15}{6}
Deux fractions sont égales si l'on passe de l'une à l'autre en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
\dfrac{50}{20}=\dfrac{50\div 10}{20\div 10}=\dfrac{5}{2}
Un quotient conserve la même valeur si l'on multiplie ou si l'on divise le numérateur et le dénominateur de l'une de ses écritures fractionnaires par un même nombre non nul.
Cette propriété n'est pas vraie avec l'addition ou la soustraction.
\dfrac{3 + 4}{5 + 4} \neq \dfrac35
Les fractions dont le dénominateur est le double du numérateur sont égales à la fraction \dfrac{1}{2}.
Dans la fraction \dfrac{20}{40}, le dénominateur 40 est le double du numérateur 20.
En effet :
2\times 20=40
On a donc :
\dfrac{20}{40}=\dfrac{1}{2}
Les fractions dont le dénominateur est le triple du numérateur sont égales à la fraction \dfrac{1}{3}.
Dans la fraction \dfrac{20}{60}, le dénominateur 60 est le triple du numérateur 20.
En effet :
20\times 3=60
On a donc :
\dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3}
Les fractions dont le dénominateur est le quadruple du numérateur sont égales à la fraction \dfrac{1}{4}.
Dans la fraction \dfrac{20}{80}, le dénominateur 80 est le quadruple du numérateur 20.
En effet :
20\times 4=80
On a donc :
\dfrac{20}{80}=\dfrac{1}{4}
Les fractions dont le dénominateur est le quintuple du numérateur sont égales à la fraction \dfrac{1}{5}.
Dans la fraction \dfrac{20}{100}, le dénominateur 100 est le quintuple du numérateur 20.
En effet :
20\times 5=100
On a donc :
\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}
Les fractions dont le dénominateur est le décuple du numérateur sont égales à la fraction \dfrac{1}{10}.
Dans la fraction \dfrac{2}{20}, le dénominateur 20 est le décuple du numérateur 2.
En effet :
2\times10=20
On a donc :
\dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}
Dans le langage courant, les fractions sont souvent utilisées dans les situations de partage. La proportion utilisée dans le langage courant n'a pas toujours le même nom que la fraction mathématique associée.
- La moitié correspond à la fraction \dfrac{1}{2}.
- Le tiers correspond à la fraction \dfrac{1}{3}.
- Le quart correspond à la fraction \dfrac{1}{4}.
Comparer, simplifier, encadrer et placer des fractions
Lorsque l'on manipule des fractions, on a souvent besoin de les comparer. Simplifier l'écriture des fractions, les encadrer ou les placer sur une demi-droite graduée peut aider à comparer deux fractions.
Comparer des fractions
Lorsque l'on manipule des fractions, il est souvent utile des les comparer afin de déterminer si une fraction est supérieure, égale ou inférieure à une autre. Il existe plusieurs cas.
Si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} sont deux fractions de même dénominateur, et si a\lt a', alors :
\dfrac{a}{b}\lt \dfrac{a'}{b}
On cherche à comparer \dfrac{7}{5} et \dfrac{3}{5}.
Ces deux fractions ont le même dénominateur.
On compare leurs numérateurs :
3\lt7
Ainsi, on obtient :
\dfrac{3}{5}\lt \dfrac{7}{5}
Si \dfrac{a}{b} et \dfrac{a}{b'} sont deux fractions de même numérateur, et si b\lt b', alors :
\dfrac{a}{b}\gt \dfrac{a}{b'}
On cherche à comparer \dfrac{11}{5} et \dfrac{11}{9}.
Ces deux fractions ont le même numérateur.
On compare leurs dénominateurs :
5\lt9
Ainsi, on obtient :
\dfrac{11}{5}\gt \dfrac{11}{9}
Pour comparer deux fractions de numérateurs et dénominateurs différents, on remplace au moins une des deux fractions par une fraction égale afin de se retrouver dans les cas des propriétés précédentes.
On cherche à comparer \dfrac{8}{6} et \dfrac{2}{3}.
On remarque que ces deux fractions ont des numérateurs différents ainsi que des dénominateurs différents.
On simplifie la première :
\dfrac{8}{6}=\dfrac{2\times4}{2\times3}=\dfrac{4}{3}
On peut désormais comparer \dfrac{4}{3} et \dfrac{2}{3}. Ces deux fractions ont le même dénominateur.
On compare leurs numérateurs :
4\gt2
Ainsi, on obtient :
\dfrac{4}{3}\gt \dfrac{2}{3}
Soit :
\dfrac{8}{6}\gt \dfrac{2}{3}
Soit \dfrac{a}{b} une fraction. Si a\gt b, alors \dfrac{a}{b} est supérieur à 1.
On considère la fraction \dfrac{9}{5}.
On a :
9\gt5
Donc :
\dfrac{9}{5}\gt1
Soit \dfrac{a}{b} une fraction. Si a\lt b, alors \dfrac{a}{b} est inférieur à 1.
On considère la fraction \dfrac{3}{4}.
On a :
3\lt4
Donc :
\dfrac{3}{4}\lt1
Soit \dfrac{a}{b} une fraction. Si a=b, alors \dfrac{a}{b} est égal à 1.
On considère la fraction \dfrac{9}{9}.
On a :
9=9
Donc :
\dfrac{9}{9}=1
Simplifier une fraction
Il est souvent plus simple de travailler avec des fractions dont le numérateur et le dénominateur ne sont pas trop « grands ». On cherche alors à remplacer une fraction utilisant de « grands » nombres par une fraction égale, mais avec des nombres plus petits.
Simplifier une fraction
Simplifier une fraction, c'est donner une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits que ceux de départ.
On cherche à simplifier la fraction \dfrac{45}{25}.
On divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre entier 5 :
\dfrac{45}{25}=\dfrac{45\div5}{25\div5}=\dfrac{9}{5}
On obtient une fraction simplifiée \dfrac{9}{5}.
Pour simplifier une fraction, on doit connaître parfaitement les tables de multiplication ainsi que les critères de divisibilité.
Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs
On peut encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs.
Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs
Encadrer une fraction \dfrac{a}{b} par deux entiers consécutifs, c'est trouver deux entiers n et m tels que :
- n\leq \dfrac{a}{b}\leq m
- n+1=m
On cherche à encadrer la fraction \dfrac{7}{6} par deux entiers consécutifs.
On sait que :
\dfrac{6}{6}<\dfrac{7}{6}<\dfrac{12}{6}
Soit :
1<\dfrac{7}{6}<2
On a donc bien n<\dfrac{7}{6}<m avec n=1 et m=n+1, soit m=2.
Placer une fraction sur une demi-droite graduée
Une autre façon de se représenter la valeur d'une fraction est de la placer sur une demi-droite graduée.
Pour placer une fraction \dfrac{a}{b} sur une demi-droite graduée :
- on partage les unités en b parts ;
- on en prend a à partir de l'origine.
Pour encadrer une fraction par deux entiers consécutifs, on peut placer la fraction sur une demi-droite graduée sur laquelle les entiers sont repérés.
Prendre la fraction d'un nombre
Les fractions sont utilisées dans les situations de partage. On est souvent amené à prendre une fraction d'une quantité. On parle de prendre une fraction d'un nombre.
Pour multiplier un nombre k par une fraction \dfrac{a}{b}, on peut multiplier k par le résultat de la division de a par b :
k \times \dfrac{a}{b}
On veut multiplier le nombre 35 par \dfrac{2}{5}.
On a :
35\times\dfrac{2}{5}=35\times0{,}4=14
Pour multiplier un nombre k par une fraction \dfrac{a}{b}, on peut multiplier k par a et diviser le résultat par b :
\dfrac{k \times a}{b}
Pour multiplier le nombre 35 par \dfrac{2}{5}, on a :
\dfrac{35\times2}{5}=\dfrac{70}{5}=14
Pour multiplier un nombre k par une fraction \dfrac{a}{b}, on peut diviser k par b et multiplier le résultat par a :
\dfrac{k}{b} \times a
Pour multiplier le nombre 35 par \dfrac{2}{5}, on a :
\dfrac{35}{5}\times2=7\times2=14
Lorsque l'on multiplie le nombre k par la fraction \dfrac{a}{b}, on dit qu'on prend les \dfrac{a}{b} de k.
Prendre les trois quarts de 10 revient à multiplier 10 par \dfrac{3}{4}.
Le pourcentage est un cas particulier de la propriété précédente. Prendre t\text{ \%} d'une quantité revient à multiplier cette quantité par \dfrac{t}{100}.
On dépense 20 % d'une cagnotte de 15 €.
On a donc dépensé :
15\times\dfrac{20}{100}=3\text{ €}