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L'homothétie Cours

Sommaire

IDéfinitionIILien avec le parallélismeIIIPropriétés
I

Définition

Homothétie

On considère un point O du plan et un nombre k\neq0. On appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation du plan qui, à chaque point M, associe le point M' tel que :

  • O, M et M' sont alignés.
  • Si k\gt0, M et M' sont du même côté du point O et OM'=k\times OM
  • Si k\lt0, M et M' sont de part et d'autre du point O et OM'=-k\times OM
-

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k=0{,}5.

-

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k=-0{,}5.

  • Une homothétie de rapport 1 donne des figures images superposées avec les figures initiales.
  • Une homothétie de rapport -1 est une symétrie centrale.
II

Lien avec le parallélisme

Soient A et B deux points du plan. Soient A' et B' leurs images par une homothétie. Alors \left(AB\right) et \left(A'B'\right) sont parallèles.

-

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k=0{,}5. On a :

  • \left(AB\right)//\left(A'B'\right)
  • \left(AC\right)//\left(A'C'\right)
  • \left(BC\right)//\left(B'C'\right)
III

Propriétés

  • L'homothétie conserve l'alignement et les mesures d'angles.
  • Une homothétie transforme un triangle en un triangle semblable au premier.
-

En reprenant le cas d'homothétie ci-dessus, on a :

  • Les angles conservés, en particulier : \widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}.
  • Les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.

Par une homothétie de rapport k\gt0, les longueurs sont multipliées par k et les aires par k^2.

-

Le rectangle A'B'C'D' est l'image du rectangle ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport k=3.

  • AB=2, donc A'B'=3\times AB=6 cm
  • Aire_{ABCD}=2 cm2, donc Aire_{A'B'C'D'}=3^2Aire_{ABCD}=9\times2=18 cm2

Si le rapport de l'homothétie est k\lt0, alors les longueurs sont multipliées par \left(-k\right) et les aires par k2.