Modéliser le hasard, calculer des probabilitésCours

I

Définitions

Les probabilités sont un domaine mathématique utilisé pour modéliser des expériences dont on ne peut prédire l'issue avec certitude. Les probabilités sont un domaine avec un vocabulaire précis.

A

Les expériences aléatoires

Expérience aléatoire

On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat n'est pas prévisible de façon certaine.

définition expérience aléatoire

Lancer un dé à 6 faces et regarder le chiffre obtenu constitue une expérience aléatoire : il existe 6 résultats possibles, dont aucun n'est prévisible de façon certaine.

B

Les issues d'une expérience aléatoire

Issue d'une expérience aléatoire

On appelle issue d'une expérience aléatoire tout résultat possible de l'expérience.

On lance un dé à 6 faces et on note le chiffre obtenu. Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

définition issue expérience aléatoire
C

L'univers

Univers

On appelle univers d'une expérience aléatoire, noté Ω (se prononce « omega »), l'ensemble de toutes les issues possibles de l'expérience.

L'univers de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces et à regarder le chiffre obtenu est : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

II

Les événements en probabilité

On cherche souvent à modéliser le hasard pour évaluer la probabilité qu'un événement survienne. On peut faire des opérations en connaissant l'événement, comme le complémentaire d'un événement, l'intersection ou la réunion de deux événements.

Événement

Un événement est un ensemble d'issues d'une expérience aléatoire. C'est donc un sous-ensemble de l'univers Ω. On dit qu'il est réalisé si l'issue obtenue est incluse dans l'événement.

On lance un dé à six faces et on regarde le chiffre obtenu. Soit A l'ensemble {2, 4, 6}.

A est un événement que l'on peut aussi décrire par la phrase « obtenir un nombre pair ».

Il est réalisé si l'on obtient 2, 4 ou 6.

définition événement
A

Les événements élémentaires

Événement élémentaire

Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire. On appelle événement élémentaire tout événement qui n'est réalisé que par une seule issue.

L'univers de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces et à regarder le chiffre obtenu est : 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Les événements {1}, {2}, {3}, {4}, {5} et {6} constituent des événements élémentaires.

On lance une pièce de monnaie et on observe la face visible. L'univers de l'expérience aléatoire est {pile;face}, et les événements élémentaires sont {pile} et {face}. 

B

Les événements incompatibles

Événements incompatibles

Deux événements sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire simultanément, c'est-à-dire s'ils ne contiennent aucune issue commune.

On reprend l'expérience qui consiste à lancer un dé à six faces et à observer le nombre obtenu.

On considère les événements suivants :
A : « obtenir un 3 »
B : « obtenir 4 ou 5 »

A et B sont deux événements incompatibles car ils ne peuvent pas être réalisés simultanément.

définition événements incompatibles

Deux événements élémentaires sont incompatibles.

C

Le complémentaire d'un événement

Événement complémentaire

Soit A un événement. On appelle événement complémentaire (ou contraire) de A, noté \overline{A}, l'ensemble des issues de Ω qui ne sont pas dans A.

Dans l'expérience précédente du lancer d'un dé à 6 faces, on considère l'événement A : « obtenir un multiple de 3 », c'est-à-dire l'événement {3;6}. L'événement complémentaire \overline{A} est l'événement « ne pas obtenir un multiple de 3 », c'est-à-dire {1;2;4;5}.

définition événement complémentaire

L'intersection de deux événements incompatibles est l'ensemble vide.

D

L'intersection d'événements

Intersection d'événements

Soient A et B deux événements d'un univers Ω. On appelle intersection des événements A et B, notée A \cap B, l'événement contenant les issues qui réalisent à la fois les deux événements A et B.

On reprend l'expérience du lancer d'un dé à six faces, et on considère les événements suivants :

  • A : « obtenir un multiple de 2 », c'est-à-dire {2;4;6} ;
  • B : « obtenir un nombre strictement plus grand que 3 », c'est-à-dire {4;5;6}.

 

L'événement A\cap B est l'ensemble des issues réalisant à la fois A et B, c'est-à-dire {4;6}.

définition intersection événements
E

La réunion d'événements

Réunion d'événements

Soient A et B deux événements d'un univers Ω. On appelle réunion des événements A et B, notée A \cup B, l'événement contenant les issues qui réalisent au moins un des deux événements A ou B.

Reprenons l'expérience du lancer d'un dé à six faces. On considère les événements suivants :

  • A : « obtenir un multiple de 2 », c'est-à-dire {2;4;6} ;
  • B : « obtenir un nombre strictement plus grand que 3 », c'est-à-dire {4;5;6}.

 

L'événement A\cup B est l'ensemble des issues réalisant A, B, ou les deux à la fois, donc :
A \cup B=\left\{ 2; 4; 5; 6 \right\}

définition réunion événements

L'intersection de deux événements est incluse dans leur réunion.

La réunion de deux événements contraires est l'ensemble univers.

III

Les probabilités

Les probabilités sont utilisées dans plusieurs domaines scientifiques. En mathématiques, une probabilité a une définition précise et permet d'associer à chaque événement un nombre entre 0 et 1. Ce nombre est la probabilité que l'événement se réalise. Donner la liste de toutes les probabilités associées aux événements élémentaires revient à donner ce que l'on appelle la loi de probabilité. Assigner à chaque événement un nombre entre 0 et 1 doit respecter certaines règles pour avoir une modélisation du hasard cohérente.

A

La loi de probabilités

Donner une loi de probabilité d'un univers revient à donner pour chaque événement élémentaire un nombre entre 0 et 1 tel que la somme de tous ces nombres soit égal à 1.

Soit une expérience aléatoire ayant comme univers l'ensemble \Omega=\left\{ w_{1};w_{2};...;w_{n} \right\} contenant un nombre fini d'issues.

On définit une loi de probabilité sur Ω en associant à chaque issue w_{i} un nombre réel p_{i} compris entre 0 et 1, de sorte que la somme de tous les réels p_{i} soit égale à 1.

Le nombre p_{i} est la probabilité de l'événement « obtenir w_{i} ».

On tire au hasard une boule dans une urne qui contient des boules vertes, bleues et rouges, et on regarde de quelle couleur est la boule tirée.

L'univers de cette expérience est \Omega=\left\{\text{vert ; rouge ; bleu}\right\}.

Le tableau suivant définit une loi de probabilité pour cette expérience :

Couleur obtenue Vert Rouge Bleu
Probabilité associée \dfrac{1}{6} \dfrac{2}{6} \dfrac{3}{6}

On y lit que la probabilité d'avoir une boule verte est de \dfrac{1}{6}.

On peut vérifier que la somme des probabilités est égale à 1 :
\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{6}=\dfrac{6}{6}=1

La somme des probabilités de toutes les issues doit toujours être égale à 1.

Une loi de probabilité est une hypothèse choisie car elle nous semble modéliser la réalité au mieux.

Comme ce n'est qu'une supposition, elle ne se démontre pas.

Situation d'équiprobabilité

Dans une expérience aléatoire, on dit qu'on a une situation d'équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

L'équiprobabilité est une loi de probabilité où on a la même probabilité pour chaque issue. C'est une supposition, reposant sur les conditions de l'expérience.

B

La probabilité d'un événement

Une fois fixé une loi de probabilité, on peut calculer la probabilité des événements d'un univers. Ces calculs respectent certaines propriétés fondamentales.

Probabilité d'un événement

Soit A un événement.

La probabilité de l'événement A, notée p(A), est égale à la somme des probabilités des issues constituant l'événement A.

On lance un dé équilibré à six faces et on observe le résultat obtenu.

On suppose que le dé est équilibré, c'est-à-dire qu'on a autant de chances d'obtenir chaque chiffre. C'est une situation d'équiprobabilité.

On considère l'événement A « obtenir 1 ou 2 », c'est-à-dire {1;2}.

L'événement A contient 2 issues.

Chaque issue a une probabilité de \dfrac{1}{6}.

La probabilité de l'événement A est donc :
p(A)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}

définition probabilité événement
C

Les événements certains et les événements impossibles

Une fois une loi de probabilité fixée, il y a des événements qui se distinguent des autres : ce sont les événements certains et les événements impossibles. Les premiers sont des événements dont la probabilité est 1, et les seconds sont des événements dont la probabilité est 0.

Événement certain

Un événement certain est un événement qui se réalise obligatoirement. Il contient toutes les issues possibles de l'univers.

La probabilité d'un événement certain est égale à 1.

Si on lance un dé à 6 faces et que l'on observe le résultat obtenu, l'événement « obtenir moins de 10 » est un événement certain, car il inclut toutes les issues possibles {1;2;3;4;5;6}.

La réunion d'un événement A et de son contraire \overline{A} est un événement certain. Donc p(A\cup \overline{A})=1.

Événement impossible

Un événement impossible est un événement qui ne se réalise jamais. Il ne contient aucune des issues possibles de l'univers.

Si on lance un dé à 6 faces et qu'on observe le résultat obtenu, l'événement « obtenir plus de 10 » est un événement impossible, car il ne contient aucune des issues de l'univers.

La probabilité d'un événement impossible est égale à 0.

L'intersection de deux événements incompatibles A et B est un événement impossible. Donc p(A\cap B)=0.

D

La probabilité d'une réunion d'événements

Pour deux événements distincts, on peut donner une formule qui permet de déduire la probabilité de leur réunion.

Soient A et B deux événements dans un univers Ω.

p(A\cup B) =p(A)+p(B)-p(A\cap B)

Soit une expérience aléatoire d'univers \Omega=\left\{ w_{1};w_{2};...;w_{n} \right\}.

Pour calculer la probabilité de A\cup B, on doit ajouter la probabilité de toutes les issues de A\cup B.

Or, si l'on ajoute la somme des probabilités de celles de A (c'est-à-dire p(A)) à la somme des probabilités de celles de B (c'est-à-dire p(B)), on compte deux fois les probabilités des issues qui sont à la fois dans A et dans B, c'est-à-dire p(A\cap B).

C'est pourquoi il faut retrancher p(A\cap B) dans la formule.

Dans l'exemple représenté par le schéma ci-dessous, lorsque l'on cherche la probabilité de la réunion, il faut faire attention de ne pas compter deux fois l'issue w_{2} qui est à la fois dans A et dans B.

probabilité réunion deux événements

Si deux événements sont incompatibles, c'est-à-dire que leur intersection est vide, alors on obtient p(A\cup B) = p(A)+p(B) car p(A\cap B) = p(\emptyset)=0.

E

La probabilité de l'événement complémentaire

Très souvent, en mathématiques, le calcul d'une probabilité d'un événement complémentaire \bar{A} est plus simple que le calcul direct de la probabilité de l'événement A. On peut calculer p(\bar{A}) en fonction de p(A) et réciproquement.

Soit A un événement, et p(A) sa probabilité.

La probabilité de l'événement complémentaire \overline{A} est p(\overline{A})=1-p(A).

On a vu que la somme des probabilités des issues doit toujours être égale à 1.

Or, toutes les issues de l'univers se répartissent entre A et \overline{A} : soit une issue est dans A, soit elle est dans \overline{A}, et aucune ne peut être dans les deux à la fois. 

Donc A\cup\overline{A}=\Omega et A\cap\overline{A}= \varnothing. On en déduit que p(A\cup\overline{A})=1.

Or, d'après la formule de la probabilité de la réunion, on a :
p(A\cup\overline{A})=p(A)+p(\overline{A})-p(A\cap\overline{A})

Donc 1=p(A)+p(\overline{A}).

Ou encore : p(\overline{A})=1-p(A).

On lance un dé équilibré à six faces et on observe le résultat obtenu.

On considère l'événement A = {1; 2}.

On a vu précédemment que p(A)=\dfrac{1}{3}.

L'événement complémentaire de A est \overline{A}=\left\{ 3;4;5;6 \right\}.

La probabilité de l'événement \overline{A} est donc :
p(\overline{A})=1-p(A)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}

IV

Les arbres et les tableaux pour le calcul des probabilités

Dans une expérience aléatoire, on peut vouloir observer plusieurs critères, ou le résultat de plusieurs épreuves, par exemple les tirages successifs de boules dans une urne. On utilise alors des tableaux ou des arbres pour mieux visualiser la situation.

A

Le dénombrement avec un tableau

On peut utiliser un tableau pour travailler sur une expérience aléatoire.

Tableau de probabilité

Soit \Omega = \{ \omega_1, \ldots, \omega_n \} un univers fini contenant n événements élémentaires d'une expérience aléatoire. Soient A et B deux événements. On note | A | le nombre d'éléments élémentaire qui est contenu dans A . Alors, un tableau de probabilité est un tableau qui est de la forme :

  B \bar{B} Total
A |A \cap B| | A \cap \bar{B} | |A|
\bar{A} | \bar{A} \cap B | |\bar{A} \cap \bar{B} | | \bar{A} |
Total | B | | \bar{B} | | A \cup B |

Dans une classe de 25 élèves, 15 élèves font de l'anglais. Parmi les élèves qui font de l'anglais, il y a 10 filles. De plus, exactement 4 garçons ne font pas d'anglais.

  • On appelle A l'événement « L'élève fait de l'anglais ». \overline{A} sera donc l'événement « L'élève ne fait pas d'anglais ».
  • On appelle F l'événement « L'élève est une fille ». \overline{F} sera donc l'événement « L'élève est un garçon ».

On suppose qu'on a autant de chance de choisir chaque élève, donc que l'on est dans une situation d'équiprobabilité.

On peut représenter ces données dans un tableau de probabilité :

Nombre d'élèves

F

\bar F

Total

A

10

5

15

\bar A

6

4

10

Total

16

9

25

B

Le dénombrement avec un arbre de probabilité

On peut utiliser un arbre de probabilité pour travailler sur une expérience aléatoire.

Arbre de probabilité

Soit \Omega un univers fini. Soient A, B, C des événements incompatibles tels que A \cap B \cap C = \Omega . Si on réalise deux expériences aléatoires indépendantes à la suite, on peut énumérer l'ensemble des résultats possibles dans un arbre de probabilité :

définition arbre de probabilité

Ainsi, l'arbre permet de lister toutes les expériences possibles :

  • on a obtenu A, puis A ;
  • on a obtenu A, puis B ;
  • on a obtenu A, puis C ;
  • on a obtenu B, puis A ;
  • ...
  • on a obtenu C puis C.

 

Sur chaque branche de l'arbre, on peut noter ensuite la probabilité d'obtenir l'événement obtenu en suivant la branche.

arbre de probabilité

On considère une urne contenant 3 boules rouges, 3 boules bleues et 3 boules jaunes, indiscernables au toucher. On procède à deux tirages avec remise, c'est-à-dire qu'on remet la première boule dans l'urne avant de tirer la deuxième. Les probabilités du deuxième tirage sont donc les mêmes que pour le premier, car le contenu de l'urne n'a pas changé.

On peut représenter cette situation sous la forme d'un arbre de probabilités.

dessiner arbre probabilité