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Opérations sur les fractions Cours

Sommaire

IAddition et soustraction de fractionsIIMultiplication de fractionsIIIDivision de fractions
I

Addition et soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur :

\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}

\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}
On souhaite additionner \dfrac23 et \dfrac59 :

\dfrac23 + \dfrac59 = \dfrac69 + \dfrac59 = \dfrac{6+5}{9} = \dfrac{11}{9}

Attention à ne pas additionner ou soustraire les dénominateurs.

Ne pas oublier qu'un nombre entier est une fraction dont le dénominateur est égal à 1.

5=\dfrac{5}{1}

\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = - \dfrac{a}{b}

\dfrac{-7}{4}=\dfrac{7}{-4}=-\dfrac{7}{4}

II

Multiplication de fractions

Lorsqu'on multiplie ou divise à la fois le numérateur et le dénominateur de \dfrac{a}{b} par un même nombre relatif k non nul, on obtient une écriture fractionnaire égale à \dfrac{a}{b} :

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k}

\dfrac35 = \dfrac{3 \times 4{,}2}{5 \times 4{,}2} = \dfrac{12{,}6}{21}

Pour multiplier deux fractions, on multiplie leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux :

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}

\dfrac37 \times \dfrac52 = \dfrac{3 \times 5}{7 \times 2} = \dfrac{15}{14}
Pour multiplier deux fractions, il n'est pas nécessaire qu'elles possèdent le même dénominateur.
Il est souvent préférable de simplifier chacune des fractions avant de les multiplier.

\dfrac{25}{15}\times \dfrac{16}{36}=\dfrac{\textcolor{Blue}{5}\times5}{\textcolor{Blue}{5}\times3}\times\dfrac{\textcolor{Blue}{4}\times4}{\textcolor{Blue}{4}\times9}=\dfrac{5}{3}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{20}{27}

Diviser par un nombre (non nul) revient à multiplier par son inverse :

\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}

\dfrac{13}{24} = 13 \times \dfrac{1}{24}
III

Division de fractions

Division de fractions

Sachant que a et b sont deux nombres non nuls, l'inverse de la fraction \dfrac{a}{b} est la fraction \dfrac{b}{a}.

L'inverse de \dfrac37 est \dfrac73.
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
\dfrac{\dfrac{11}{5}}{\dfrac{9}{23}} = \dfrac{11}{5} \times \dfrac{23}{9}

Attention à la position du trait de fraction dans un calcul.

\dfrac{\dfrac{2}{3}}{4}\neq\dfrac{2}{\dfrac{3}{4}}

En effet :

\dfrac{\dfrac{2}{3}}{4}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}

Alors que :

\dfrac{2}{\dfrac{3}{4}}=2\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}