ProbabilitésCours

I

Rappels

A

Expérience aléatoire

Expérience aléatoire

On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat n'est pas prévisible de façon certaine.

-

Lancer un dé à 6 faces et regarder le chiffre obtenu constitue une expérience aléatoire : il existe 6 résultats possibles, dont aucun n'est prévisible de façon certaine.

B

Issue

Issue d'une expérience aléatoire

On appelle issue d'une expérience aléatoire tout résultat possible de l'expérience.

On lance un dé à 6 faces et on note le chiffre obtenu. Les issues possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

-
C

Univers

Univers

On appelle univers d'une expérience aléatoire, noté Ω (se prononce « omega »), l'ensemble de toutes les issues possibles de l'expérience.

L'univers de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces et à regarder le chiffre obtenu est : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

II

Événement

Événement

Un événement est un ensemble d'issues d'une expérience aléatoire. C'est donc un sous-ensemble de l'univers Ω. 

On dit qu'il est réalisé si l'issue obtenue est incluse dans l'événement.

On lance un dé à six faces et on regarde le chiffre obtenu. Soit A l'ensemble {2, 4, 6}.

A est un événement que l'on peut aussi décrire par la phrase « obtenir un nombre pair ».

Il est réalisé si on obtient 2, 4 ou 6.

-
A

Événement élémentaire

Événement élémentaire

Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire.

On appelle événement élémentaire tout événement qui n'est réalisé que par une seule issue.

L'univers de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces et à regarder le chiffre obtenu est  : 

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Les événements {1}, {2}, {3}, {4}, {5} et {6} constituent des événements élémentaires.

On lance une pièce de monnaie et on observe la face visible. L'univers de l'expérience aléatoire est {pile;face}, et les événements élémentaires sont {pile} et {face}. 

B

Événements incompatibles

Événements incompatibles

Deux événements sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire simultanément, c'est-à-dire s'ils ne contiennent aucune issue commune.

Reprenons l'expérience qui consiste à lancer un dé à six faces et à observer le nombre obtenu.

On considère les événements suivants :

A : « obtenir un 3 »

B : « obtenir 4 ou 5 »

A et B sont deux événements incompatibles car ils ne peuvent pas être réalisés simultanément.

-

Deux événements élémentaires sont incompatibles.

C

Événement complémentaire

Événement complémentaire

Soit A un événement. On appelle événement complémentaire (ou contraire) de A, noté \overline{A}, l'ensemble des issues de Ω qui ne sont pas dans A.

Dans l'expérience précédente du lancer d'un dé à 6 faces, on considère l'événement A : « obtenir un multiple de 3 », c'est-à-dire l'événement {3;6}.

L'événement complémentaire \overline{A} est l'événement « ne pas obtenir un multiple de 3 », c'est-à-dire {1;2;4;5}.

-

L'intersection de deux événements incompatibles est l'ensemble vide.

D

Intersection d'événements

Intersection d'événements

Soient A et B deux événements d'un univers Ω. On appelle intersection de A et B, notée A \cap B, l'événement contenant les issues qui réalisent à la fois les deux événements A et B.

On reprend l'expérience du lancer d'un dé à six faces, et on considère les événements suivants :

  • A : « obtenir un multiple de 2 », c'est-à-dire {2;4;6} ; 
  • B : « obtenir un nombre strictement plus grand que 3 », c'est-à-dire {4;5;6}.

 

L'événement A\cap B est l'ensemble des issues réalisant à la fois A et B, c'est-à-dire {4;6}.

-
E

Réunion d'événements

Réunion d'événements

Soient A et B deux événements d'un univers Ω. On appelle réunion de A et B, notée A \cup B , l'événement contenant les issues qui réalisent au moins un des deux événements A ou B.

Reprenons l'expérience du lancer d'un dé à six faces. On considère les événements suivants :

  • A : « obtenir un multiple de 2 », c'est-à-dire {2;4;6} ;
  • B : « obtenir un nombre strictement plus grand que 3 », c'est-à-dire {4;5;6}.

 

L'événement A\cup B est l'ensemble des issues réalisant A, B, ou les deux à la fois, donc :

A \cup B=\left\{ 2; 4; 5; 6 \right\}

-

L'intersection de deux événements est incluse dans leur réunion.

La réunion de deux événements contraires est l'ensemble univers.

III

Probabilités

A

Loi de probabilités

Soit une expérience aléatoire ayant comme univers l'ensemble \Omega=\left\{ w_{1};w_{2};...;w_{n} \right\} contenant un nombre fini d'issues.

On définit une loi de probabilité sur Ω en associant à chaque issue w_{i} un nombre réel p_{i} compris entre 0 et 1, de sorte que la somme de tous les réels p_{i} soit égale à 1.

Le nombre p_{i} est la probabilité de l'événement « obtenir w_{i} ».

On tire au hasard une boule dans une urne qui contient des boules vertes, bleues et rouges, et on regarde de quelle couleur est la boule tirée.

L'univers de cette expérience est \Omega=\left\{ vert ; rouge ; bleu \right\}.

 Le tableau suivant défini une loi de probabilité pour cette expérience :

Couleur obtenue Vert Rouge Bleu
Probabilité associée \dfrac{1}{6} \dfrac{2}{6} \dfrac{3}{6}

On y lit que la probabilité d'avoir une boule verte est de \dfrac{1}{6}.

On peut vérifier que la somme des probabilités est égale à 1 : \dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{6}=\dfrac{6}{6}=1.

La somme des probabilités de toutes les issues doit toujours être égale à 1.

Une loi de probabilité est une hypothèse choisie car elle nous semble modéliser la réalité au mieux.

Comme ce n'est qu'une supposition, elle ne se démontre pas.

Situation d'équiprobabilité

Dans une expérience aléatoire, on dit qu'on a une situation d'équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

L'équiprobabilité est une loi de probabilité où on a la même probabilité pour chaque issue. C'est une supposition, reposant sur les conditions de l'expérience.

Cela peut être par exemple une pièce que l'on suppose équilibrée, ou un dé que l'on suppose non truqué.

B

La probabilité d'un événement

Probabilité d'un événement

Soit A un événement.

La probabilité de A, notée p(A), est égale à la somme des probabilités des issues constituant l'événement A.

On lance un dé équilibré à six faces et on observe le résultat obtenu.

On suppose que le dé est équilibré, c'est-à-dire qu'on a autant de chances d'obtenir chaque chiffre. C'est une situation d'équiprobabilité.

On considère l'événement A « obtenir 1 ou 2 », c'est-à-dire {1;2}.

L'événement A contient 2 issues.

Chaque issue a une probabilité de \dfrac{1}{6}.

La probabilité de l'événement A est donc :

p(A)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}

-
C

Événement certain et événement impossible

Événement certain

Un événement certain est un événement qui se réalise obligatoirement. 

Il contient toutes les issues possibles de l'univers.

La probabilité d'un événement certain est égale à 1.

Si on lance un dé à 6 faces et que l'on observe le résultat obtenu, l'événement « obtenir moins de 10 » est un événement certain, car il inclut toutes les issues possibles {1;2;3;4;5;6}.

La réunion d'un événement A et de son contraire \overline{A} est un événement certain. Donc p(A\cup \overline{A})=1.

Événement impossible

Un événement impossible est un événement qui ne se réalise jamais.

Il ne contient aucune des issues possibles de l'univers.

Si on lance un dé à 6 faces et qu'on observe le résultat obtenu, l'événement « obtenir plus de 10 » est un événement impossible, car il ne contient aucune des issues de l'univers.

La probabilité d'un événement impossible est égale à 0.

L'intersection de deux événements incompatibles A et B est un événement impossible. Donc p(A\cap B)=0.

D

Probabilité de la réunion

Soient A et B deux événements dans un univers Ω.

p(A\cup B) =p(A)+p(B)-p(A\cap B)

Soit une expérience aléatoire d'univers \Omega=\left\{ w_{1};w_{2};...;w_{n} \right\}.

Pour calculer la probabilité de A\cup B, on doit ajouter la probabilité de toutes les issues de A\cup B.

Or, si l'on ajoute la somme des probabilités de celles de A (c'est-à-dire p(A)) à la somme des probabilités de celles de B (c'est-à-dire p(B)), on compte deux fois les probabilités des issues qui sont à la fois dans A et dans B, c'est-à-dire p(A\cap B).

C'est pourquoi il faut retrancher p(A\cap B) dans la formule.

Dans l'exemple représenté par le schéma ci-dessous, lorsque l'on cherche la probabilité de la réunion, il faut faire attention de ne pas compter deux fois l'issue w_{2} qui est à la fois dans A et dans B.

-

Si deux événements sont incompatibles, c'est-à-dire que leur intersection est vide, alors on obtient p(A\cup B) = p(A)+p(B) car p(A\cap B) = p(\emptyset)=0.

E

Probabilité de l'événement complémentaire

Soit A un événement, et p(A) sa probabilité.

La probabilité de l'événement complémentaire \overline{A} est p(\overline{A})=1-p(A).

On a vu que la somme des probabilités des issues doit toujours être égale à 1.

Or, toutes les issues de l'univers se répartissent entre A et \overline{A} : ou bien une issue est dans A, ou bien elle est dans \overline{A}, et aucune ne peut être dans les deux à la fois. 

Donc A\cup\overline{A}=\Omega et A\cap\overline{A}= \varnothing. On en déduit que p(A\cup\overline{A})=1.

Or, d'après la formule de la probabilité de la réunion, on a :

p(A\cup\overline{A})=p(A)+p(\overline{A})-p(A\cap\overline{A})

Donc 1=p(A)+p(\overline{A}).

Ou encore : p(\overline{A})=1-p(A).

On lance un dé équilibré à six faces et on observe le résultat obtenu.

On considère l'événement A = {1; 2}.

On a vu précédemment que p(A)=\dfrac{1}{3}.

L'événement complémentaire de A est \overline{A}=\left\{ 3;4;5;6 \right\}.

La probabilité de l'événement \overline{A} est donc :

p(\overline{A})=1-p(A)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}

IV

Arbres et tableaux

Dans une expérience aléatoire, on peut vouloir observer plusieurs critères, ou le résultat de plusieurs épreuves, par exemple les tirages successifs de boules dans une urne.

On utilisera alors des arbres ou des tableaux pour mieux visualiser la situation.

A

Dénombrement avec un tableau

Dans une classe de 25 élèves, 15 élèves font de l'anglais.

Parmi les élèves qui font de l'anglais, il y a 10 filles.

De plus, exactement 4 garçons ne font pas d'anglais.

On veut représenter ces données dans un tableau, ce qui nous permettra de voir facilement comment se répartissent les élèves et, si besoin, de calculer facilement les probabilités associées.

Etape 1

Notations

L'univers de notre expérience est constitué des 25 élèves. Quand on choisit un élève au hasard, chaque élève est une issue possible.

On appelle A l'événement « l'élève fait de l'anglais ». \overline{A} sera donc l'événement « l'élève ne fait pas d'anglais ».

On appelle F l'événement « l'élève est une fille ». \overline{F} sera donc l'événement « l'élève est un garçon ».

On suppose qu'on a autant de chance de choisir chaque élève, donc que l'on est dans une situation d'équiprobabilité.

Etape 2

Faire un tableau à double entrée

On crée un tableau à double entrée en indiquant l'un des critères en ligne, l'autre en colonne.

Il y a en tout 25 élèves.

 

Nombre d'élèves

F

\bar F

Total

A

     

\bar A

     

Total

   

25

Etape 3

Remplir le tableau

On relit l'énoncé étape par étape pour remplir le tableau.

On nous dit d'abord : « dans une classe de 25 élèves, 15 élèves font de l'anglais. »

On met donc 15 dans le total des élèves qui font de l'anglais.

Nombre d'élèves

F

\bar F

Total

A

   

15

\bar A

     

Total

   

25

On en déduit que 10 élèves ne font pas d'anglais, car 25−15=10.

Nombre d'élèves

F

\bar F

Total

A

   

15

\bar A

   

10

Total

   

25

On nous dit ensuite :

« Parmi les élèves qui font de l'anglais, il y a 10 filles. »

On reporte donc cette information dans la case intersection de F et A : les filles qui font de l'anglais.

Nombre d'élèves

F

\bar F

Total

A

10

 

15

\bar A

   

10

Total

   

25

On en déduit le nombre d'élèves qui font de l'anglais et ne sont pas des filles : 15−10=5

Nombre d'élèves

F

\bar F

Total

A

10

5

15

\bar A

   

10

Total

   

25

Enfin, on nous dit : « De plus ,exactement 4 garçons ne font pas d'anglais. »

On reporte cette information dans le tableau, et par déduction 10−4=6 filles ne font pas d'anglais.

Nombre d'élèves

F

\bar F

Total

A

10

5

15

\bar A

6

4

10

Total

   

25

En additionnant le nombre de filles et de garçons, on obtient un tableau totalement rempli, qui représente notre problème.

Nombre d'élèves

F

\bar F

Total

A

10

5

15

\bar A

6

4

10

Total

16

9

25

Etape 4

Calculer les probabilités

On peut maintenant calculer facilement la probabilité de n'importe quel événement. Par exemple, la probabilité de choisir au hasard un garçon qui fait de l'anglais, c'est-à-dire la probabilité de A\cap\overline{F}.

On lit qu'il y a 5 garçons qui font de l'anglais, sur 25 élèves au total, et on est dans une situation d'équiprobabilité, donc :

p(A\cap \overline{F})=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}=0{,}2

B

Avec un arbre de probabilités

On considère une urne contenant 3 boules rouges, 3 boules bleues et 3 boules jaunes, indiscernables au toucher.

On procède à deux tirages avec remise, c'est-à-dire qu'on remet la première boule dans l'urne avant de tirer la deuxième.

Les probabilités du deuxième tirage sont donc les mêmes que pour le premier, car le contenu de l'urne n'a pas changé.

On peut représenter cette situation sous la forme d'un arbre de probabilités.

Etape 1

Dessiner l'arbre

On crée l'arbre représentant les situations possibles.

-
Etape 2

Calculer les probabilités

Grâce à ce schéma en arbre, on peut calculer la probabilité de certains événements.

L'univers de cette expérience contient 8 issues : c'est le nombre total de branches de l'arbre. Comme on est dans une situation d'équiprobabilité, chaque branche à la même probabilité. 

Pour calculer la probabilité d'un événement, il suffit donc de compter le nombre de branches qui le constitue.

Si on souhaite par exemple calculer la probabilité de tirer une boule rouge et une boule bleue, on repère les branches de l'arbre qui correspondent à cet événement. Ici, il y en a deux : soit on tire une boule bleue puis une rouge, soit on tire une boule rouge puis une boule bleue.

La probabilité de l'événement « tirer une boule bleue et une boule rouge » est donc \dfrac{2}{8}, soit \dfrac{1}{4}.