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  4. Exercice : Calculer la dérivée seconde d'une fonction

Calculer la dérivée seconde d'une fonction Exercice

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} :

f\left(x\right) = \left(2x+3\right)^5

Quelle est la valeur de la dérivée seconde de f ?

On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} :

f\left(x\right) = \dfrac{2}{5}x^5-\dfrac{1}{3}x^3+5x

Quelle est la valeur de la dérivée seconde de f ?

On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R}^* :

f\left(x\right) =\dfrac{x-3}{x-2}

Quelle est la valeur de la dérivée seconde de f ?

On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R} :

f\left(x\right) = 10x^4-8x^3+2x

Quelle est la valeur de la dérivée seconde de f ?

On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R}^+ :

f\left(x\right) = x\sqrt x

Quelle est la valeur de la dérivée seconde de f ?

On sait que pour déterminer une dérivée seconde d'une fonction f donnée il faut dériver deux fois de suite cette fonction.

Etape 1

Calcul de f'

f est une fonction dérivable sur \mathbb{R}^+ en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}^+, on commence donc par calculer sa dérivée f' :

On remarque que : f = uv

Avec u\left(x\right) = x et v\left(x\right) = \sqrt x

On en déduit que f' = u'v +uv' avec :

u'\left(x\right) = 1 et v'\left(x\right) = \dfrac{1}{2\sqrt x}

Donc, \forall x \in \mathbb{R}^+, f'\left(x\right) =1\times \sqrt x + x \times\dfrac{1}{2\sqrt x}

En ramarquant que x = \sqrt{x^2}, on obtient :

f'\left(x\right) = \sqrt x + \dfrac{\sqrt{x^2}}{2\sqrt x}

f'\left(x\right) = \sqrt x + \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{x}}{2\sqrt x}

f'\left(x\right) = \sqrt x + \dfrac{\sqrt{x}}{2}

Finalement :

\forall x \in \mathbb{R}^+, f'\left(x\right) = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}

Etape 2

Calcul de f''

On remarque que f' est une fonction racine définie et dérivable sur \mathbb{R}^+. On calcule maintenant la dérivée de f ', que l'on note f '' et qui correspond à la dérivée seconde de f :

\forall x \in \mathbb{R}^+, f''\left(x\right) = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{2\sqrt x}

\forall x \in \mathbb{R}^+*, f''\left(x\right) = \dfrac{3}{4\sqrt x}

On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\} :

f\left(x\right) = \dfrac{-x^2+2x}{x+1}

Quelle est la valeur de la dérivée seconde de f ?

On sait que pour déterminer une dérivée seconde d'une fonction f donnée il faut dériver deux fois de suite cette fonction.

Etape 1

Calcul de f'

f est une fonction dérivable sur \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\} en tant que quotient de fonctions polynômes sur \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}, on commence donc par calculer sa dérivée f' :

On remarque que f = \dfrac{u}{v}

Avec u \left(x\right) = -x^2+2x et v\left(x\right) = x+1

On en déduit que f '= \dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Avec u '\left(x\right) = -2x+2 et v'\left(x\right) = 1

Donc, \forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}, f'\left(x\right) = \dfrac{\left(-2x+2\right)\left(x+1\right)-\left(-x^2+2x\right)\times 1}{\left(x+1\right)^2}

f'\left(x\right) = \dfrac{-2x^2-2x+2x+2+x^2-2x}{\left(x+1\right)^2}

f'\left(x\right) = \dfrac{-x^2-2x+2}{\left(x+1\right)^2}

Etape 2

Calcul de f''

On remarque que f' est également un quotient de fonctions polynômes défini sur \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\} donc dérivable \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}. On calcule maintenant la dérivée de f ', que l'on note f '' et qui correspond à la dérivée seconde de f :

f est une fonction dérivable sur \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\} en tant que quotient de fonctions polynômes sur \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}, on commence donc par calculer sa dérivée f' :

On remarque que f = \dfrac{u}{v}

Avec u \left(x\right) = -x^2-2x+2 et v\left(x\right) = \left(x+1\right)^2=x^2+2x+1

On en déduit que f '= \dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Avec u '\left(x\right) = -2x-2 et v'\left(x\right) = 2x+2

Donc, \forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}, f'\left(x\right) = \dfrac{\left(-2x-2\right)\left(x^2+2x+1\right)-\left(-x^2-2x+2\right)\times \left(2x+2\right)}{\left(x+1\right)^4}

f'\left(x\right) = \dfrac{-2x^3-4x^2-2x-2x^2-4x-2+2x^3+2x^2+4x^2+4x-4x-4}{\left(x+1\right)^4}

f''\left(x\right) = \dfrac{-6x-6}{\left(x+1\right)^4}

f''\left(x\right) = \dfrac{-6\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^4}

f''\left(x\right) = \dfrac{-6}{\left(x+1\right)^3}

\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}, f''\left(x\right) = \dfrac{-6}{\left(x+1\right)^3}

On considère la fonction f suivante définie sur \mathbb{R}^* :

f\left(x\right) = \dfrac{1}{2x+1}

Quelle est la valeur de la dérivée seconde de f ?

On sait que pour déterminer une dérivée seconde d'une fonction f donnée il faut dériver deux fois de suite cette fonction.

Etape 1

Calcul de f'

f est une fonction dérivable sur \mathbb{R}-\left\{ -\dfrac{1}{2} \right\} en tant que quotient de fonctions polynômes sur \mathbb{R}-\left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}, on commence donc par calculer sa dérivée f' :

On remarque que f = \dfrac{1}{v} avec v\left(x\right) = 2x+1.

On en déduit que f ' = - \dfrac{v'}{v^2} avec v'\left(x\right) = 2.

Donc, \forall x \in\mathbb{R} -\left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}, f'\left(x\right) = -\dfrac{2}{\left(2x+1\right)^2}

Etape 2

Calcul de f''

On remarque que f' est également un quotient de fonctions polynômes défini sur \mathbb{R}-\left\{ -\dfrac{1}{2} \right\} donc dérivable \mathbb{R}-\left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}. On calcule maintenant la dérivée de f ', que l'on note f '' et qui correspond à la dérivée seconde de f :

On remarque que f = \dfrac{k}{v} avec v\left(x\right) = \left(2x+1\right)^2. et k = -2

On en déduit que f ' '= - \dfrac{kv'}{v^2} avec v'\left(x\right) = 2\times 2\left(2x+1\right) = 4\left(2x+1\right).

Donc, \forall x \in\mathbb{R} -\left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}, f''\left(x\right) = -\dfrac{-2\times 4\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^4}

f''\left(x\right) = \dfrac{8}{\left(2x+1\right)^3}

\forall x \in \mathbb{R}^*, f''\left(x\right) = \dfrac{8}{\left(2x+1\right)^3}

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  • Quiz : La convexité
  • Méthode : Calculer la dérivée seconde d'une fonction
  • Méthode : Etudier la convexité d'une fonction sur un intervalle
  • Exercice : Etudier la convexité d'une fonction en calculant sa dérivée seconde
  • Exercice : Etudier la convexité d'une fonction en étudiant sa fonction dérivée
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