Construire la réduction d'une figure Exercice

On sait que si une transformation réduit les figures géométriques, alors les angles de la figure image ont les mêmes mesures que les angles de la figure initiale.

Ici, on doit donc avoir :

• \widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}
• \widehat{B'C'D'}=\widehat{BCD}
• \widehat{C'D'A'}=\widehat{CDA}
• \widehat{D'A'B'}=\widehat{DAB}

Or, ce n'est pas le cas pour les figures 3 et 4.

On sait par ailleurs que si une transformation réduit les figures géométriques, alors les longueurs de la figure image sont proportionnelles aux longueurs de la figure initiale, avec un rapport compris entre 0 et 1.

Ce n'est le cas que pour la figure de la proposition 2, avec un coefficient de proportionnalité 0,5.

En effet, on a :

• A'B'=4=0{,}5 \times 8 = 0{,}5 \times AB
• B'C'=2{,}5=0{,}5 \times 5 = 0{,}5 \times BC

Et comme dans un parallélogramme les côtés opposés sont de même longueur, on a également :

• C'D'=A'B'=0{,}5 \times AB=0{,}5 \times CD
• D'A'=B'C'=0{,}5 \times BC=0{,}5 \times DA

Ainsi, dans la figure de la proposition 2 :

• Les mesures des angles sont les mêmes que celles de la figure initiale.
• Les longueurs des côtés de la figure A'B'C'D' sont proportionnelles à celles de la figure ABCD.

Enfin, comme k=0{,}5 est compris entre 0 et 1, il s'agit bien d'une réduction.

On sait que si une transformation réduit les figures géométriques, alors les angles de la figure image ont les mêmes mesures que les angles de la figure initiale.

Ici, on doit donc avoir :

• \widehat{E'F'G'}=\widehat{EFG}
• \widehat{F'G'E'}=\widehat{FGE}
• \widehat{G'E'F'}=\widehat{GEF}

Or, ce n'est pas le cas pour la figure 3.

On sait par ailleurs que si une transformation réduit les figures géométriques, alors les longueurs de la figure image sont proportionnelles aux longueurs de la figure initiale, avec un rapport compris entre 0 et 1.

La proposition 4 n'est pas une réduction puisque la figure est identique.

• Proposition 1 : k = \dfrac{5}{7} \approx 0{,}71 et k = \dfrac{3{,}5}{5}=0{,}7, les rapports ne sont pas égaux donc ce n'est pas une réduction.
• Proposition 2 : k = \dfrac{4{,}2}{7} = 0{,}6 et k = \dfrac{3}{5} = 0{,}6, les rapports sont égaux donc il s'agit d'une réduction.

Ainsi, dans la figure de la proposition 2 :

• Les mesures des angles sont les mêmes que celles de la figure initiale.
• Les longueurs des côtés de la figure E'F'G' sont proportionnelles à celles de la figure EFG.

Enfin, comme k=0{,}6 est compris entre 0 et 1, il s'agit bien d'une réduction.

On sait que si une transformation réduit les figures géométriques, alors les longueurs de la figure image sont proportionnelles aux longueurs de la figure initiale, avec un rapport compris entre 0 et 1.

• Proposition 1 : k = \dfrac{5}{10}= 0{,}5 et k = \dfrac{3}{6}=0{,}5, les rapports sont égaux donc il s'agit d'une réduction.
• Proposition 2 : k = \dfrac{4}{10} = 0{,}4 et k = \dfrac{2}{6} \approx 0{,}33, les rapports ne sont pas égaux donc ce n'est pas une réduction.
• Proposition 3 : k = \dfrac{8}{10} =0{,}8 et k = \dfrac{6}{6}=1, les rapports ne sont pas égaux donc ce n'est pas une réduction.
• Proposition 4 : k = \dfrac{7}{10} = 0{,}7 et k = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}83, les rapports ne sont pas égaux donc ce n'est pas une réduction.

Enfin, dans la proposition 1, comme k=0{,}5 est compris entre 0 et 1, il s'agit bien d'une réduction.

On sait que si une transformation réduit les figures géométriques, alors les longueurs de la figure image sont proportionnelles aux longueurs de la figure initiale, avec un rapport compris entre 0 et 1.

• Proposition 1 : k = \dfrac{5}{6}\approx 0{,}83 et k = \dfrac{7}{8}=0{,}875, les rapports ne sont pas égaux donc ce n'est pas une réduction.
• Proposition 2 : k = \dfrac{3}{6} = 0{,}5 et k = \dfrac{4}{8} =0{,}5, les rapports sont égaux donc il s'agit d'une réduction.
• Proposition 3 : k = \dfrac{2}{6} \approx 0{,}33 et k = \dfrac{2{,}7}{8} \approx 0{,}337, les rapports ne sont pas égaux donc ce n'est pas une réduction.
• Proposition 4 : La figure est identique à la figure initiale.

Enfin, dans la proposition 2, comme k=0{,}5 est compris entre 0 et 1, il s'agit bien d'une réduction.

On sait que si une transformation réduit les figures géométriques, alors les longueurs de la figure image sont proportionnelles aux longueurs de la figure initiale, avec un rapport compris entre 0 et 1.

• Proposition 1 : k = \dfrac{7}{9}\approx 0{,}78 et k = \dfrac{4{,}5}{5}=0{,}9 et k = \dfrac{2{,}5}{4}=0{,}625, les rapports ne sont pas égaux donc ce n'est pas une réduction.
• Proposition 2 : k = \dfrac{5{,}4}{9} = 0{,}6 et k = \dfrac{3}{5} =0{,}6 et k = \dfrac{2{,}4}{4} =0{,}6, les rapports sont égaux donc il s'agit d'une réduction.
• Proposition 3 : k = \dfrac{13{,}5}{9} =1{,}5 et k = \dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5 et k = \dfrac{6}{4} =1{,}5, les rapports sont égaux mais k > 1 donc c'est un agrandissement.
• Proposition 4 : La figure est identique à la figure initiale.

Enfin, dans la proposition 2, comme k=0{,}6 est compris entre 0 et 1, il s'agit bien d'une réduction.

On sait que si une transformation réduit les figures géométriques, alors les angles de la figure image ont les mêmes mesures que les angles de la figure initiale.

Or les propositions 1 et 4 ne conservent pas l'angle \widehat{KLM}.

On sait que si une transformation réduit les figures géométriques, alors les longueurs de la figure image sont proportionnelles aux longueurs de la figure initiale, avec un rapport compris entre 0 et 1.

• Proposition 2 : k = \dfrac{3}{6} = 0{,}5 et k = \dfrac{4}{8} =0{,}5, les rapports sont égaux donc il s'agit d'une réduction.
• Proposition 3 : la figure est identique à la figure initiale.

Enfin, dans la proposition 2, comme k=0{,}5 est compris entre 0 et 1, il s'agit bien d'une réduction.