Un des wagons d'un train reliant Nantes à Marseille a 135 places prises sur les 180 places disponibles.
Quel est l'intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion des places occupées dans ce train ?
Un sondage effectué auprès de 900 votants juste avant une élection comportant deux candidats (A et B) donne 532 votes pour le candidat A.
Quel est l'intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion des votants, ayant prévu de voter pour le candidat A ?
Un sondage effectué auprès de 1000 votants juste avant une élection comportant deux candidats (A et B) donne 400 votes pour le candidat A.
Quel est l'intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion des votants ayant prévu de voter pour le candidat A ?
Notons n l'effectif de l'échantillon et f la fréquence des votants ayant choisi le candidat A pour le sondage.
On a n = 1\ 000 donc n\geq 25.
f=\dfrac{400}{1\, 000}=0{,}4, donc 0{,}2\leq f\leq 0{,}8
On peut donc, à partir de cette fréquence, donner un intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion des votants ayant l'intention de voter pour le candidat A :
L'intervalle I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] convient.
f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0{,}4-\dfrac{1}{\sqrt{1\ 000}}\approx 0{,}368 (valeur arrondie par défaut)
f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0{,}4+\dfrac{1}{\sqrt{1\ 000}}\approx 0{,}432 (valeur arrondie par excès)
Ainsi, I=\left[0{,}368;0{,}432\right] est un intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion des votants ayant l'intention de voter pour le candidat A.
Une ville de province comporte 100 000 habitants. Pour les élections municipales à venir, un sondage est réalisé auprès d'un panel de 100 personnes, sur lesquelles 55 affirment vouloir réélire le maire sortant.
Quel est l'intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion des votants ayant prévu de voter pour le maire sortant ?
Notons n l'effectif de l'échantillon et f la fréquence des votants ayant choisi le maire sortant pour le sondage.
On a n=100 donc n\geq 25.
f=\dfrac{55}{1\, 00}=0{,}55, donc 0{,}2\leq f\leq 0{,}8
On peut donc, à partir de cette fréquence, donner un intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion des votants ayant l'intention de voter pour le maire sortant.
L'intervalle I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] convient.
f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0{,}55-\dfrac{1}{\sqrt{100}}= 0{,}45
f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0{,}55+\dfrac{1}{\sqrt{100}}= 0{,}65
Ainsi, I= \left[0{,}45;0{,}65\right] est un intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion des votants ayant l'intention de voter pour le maire sortant.
Le sondage ne permet donc pas de conclure à l'éventualité ou non que le maire sortant soit réélu puisqu'il y a au moins 95% de chances que la proportion des votants souhaitant l'élire soit comprise entre 45% et 65%.
Dans une entreprise de 2500 salariés, on effectue un sondage sur l'usage du tabac.
Sur un échantillon de 250 employés, 96 personnes déclarent fumer.
Quel est l'intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion des fumeurs dans cette entreprise ?
Notons n l'effectif de l'échantillon et f la fréquence des fumeurs sur l'échantillon.
On a :
n=250 \text{ donc } n\geq 25
f=\dfrac{96}{250}=0{,}384, donc 0{,}2\leq f\leq 0{,}8
On peut donc, à partir de cette fréquence, donner un intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion des fumeurs.
L'intervalle I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] convient.
f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0{,}384-\dfrac{1}{\sqrt{250}}\approx 0{,}320 (valeur arrondie par défaut)
f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0{,}384+\dfrac{1}{\sqrt{250}}\approx 0.448 (valeur arrondie par excès)
Ainsi, I= \left[0{,}320;0{,}448\right] est un intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion des fumeurs dans cette entreprise.
Ainsi, I= \left[0{,}320;0{,}448\right] est un intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion des fumeurs dans cette entreprise.