Une échelle est appuyée à un mur. Pour qu'elle ne glisse pas, l'angle qu'elle fait avec le sol doit être supérieur à 55°.
Sachant que l'échelle mesure 4,4 m et qu'elle est appuyée à un point qui se trouve à 2,3 m du mur, l'échelle va-t-elle glisser ?
On nommera A l'extrémité de l'échelle qui touche le sol, C l'extrémité de l'échelle qui touche le mur, et B le point d'intersection entre le mur et le sol.
Pour que l'échelle soit stable, il faut que l'angle \widehat{BAC}\gt55°.
On constate que le triangle ABC est rectangle en B, tel que AC = 4{,}4 m et AB = 2{,}3 m.
On aura donc :
\cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{2{,}3}{4{,}4}
Donc : \widehat{BAC}=\arccos\left(\dfrac{2{,}3}{4{,}4}\right)=58{,}48°
On remarque donc que l'angle \widehat{BAC} est supérieur à 55°.
On peut donc conclure que l'échelle sera stable et ne va pas glisser.
À quelle distance maximum du mur peut-on positionner l'échelle ?
On sait que la mesure de l'angle \widehat{BAC} ne doit pas être inférieure à 55°.
On va donc calculer la distance AB lorsque que l'angle \widehat{BAC}=55°.
On aura donc :
\cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{AB}{AC}
\cos\left(55°\right)=\dfrac{AB}{4{,}4}
AB=\cos\left(55°\right)\times4{,}4=2{,}52
L'échelle ne doit pas être placée à une distance du mur supérieure à 2,52 m.