Description d’un fluide au reposCours

 

Notions À savoir
Le volume d'un corps

Le volume d'un corps :

  • permet d'évaluer l'espace qu'il occupe ;
  • a pour unité légale le mètre cube (m3), mais il est généralement exprimé en litres (L) ;
  • se mesure avec une éprouvette graduée. 

On détermine correctement le volume en plaçant son œil en bas du ménisque formé par le liquide dans l'éprouvette et en lisant la graduation correspondante.

Note :  un mètre cube (m3) équivaut à 1 000 litres (L). 

La masse volumique d'un corps

C'est le rapport de la masse d'un échantillon de ce corps par son volume :

\mu_{corps} = \dfrac{m_{corps}}{V_{corps}}
Les états physiques de la matière

Les états physiques de la matière

Déterminer un volume

Déterminer un volume

I

Grandeurs décrivant l'état d'un fluide

A

Notion de fluide

Dans ce chapitre, on s'intéresse uniquement aux fluides.

Fluide

Le terme « fluide » regroupe les liquides et les gaz.

L'air et l'eau liquide sont des fluides.

Par opposition aux solides, les fluides sont constitués de particules en mouvement. 

Ils n'ont donc pas de forme propre et épousent la forme de leur contenant.

  • Dans les liquides, les particules ont un mouvement incessant et désordonné, mais restent néanmoins très proches les unes des autres.
  • Dans les gaz, les particules sont complètement libres de se déplacer dans tout le volume dont elles disposent.
Mouvement des particules d'un liquide et d'un gaz

Mouvement des particules d'un liquide et d'un gaz

B

Description macroscopique

Il est impossible de définir l'état d'un fluide au repos à l'échelle microscopique car il faudrait indiquer, à chaque instant, la position et la vitesse de chacune des particules qui le constituent. 

Néanmoins, quelques paramètres permettent de décrire convenablement l'état d'un fluide, à notre échelle (macroscopique).

À notre échelle (macroscopique) un nombre restreint de paramètres (pression, température et masse volumique) permet de de décrire l'état d'un fluide, on les appelle les variables d'état.

Variables d'état 

Les variables d'état sont les grandeurs macroscopiques qui suffisent à décrire l'état d'un fluide au repos.

Variable d'état Unité légale Unité couramment utilisée Interprétation microscopique
Température T le Kelvin (K)

Le degré Celsius (°C)


T (°C) = T (K) + 273,15
Quantifie l'agitation thermique des particules
Pression p le Pascal (Pa)

Le bar (bar)


1 bar = 105 Pa
Quantifie le nombre de chocs des particules sur les parois, et donc l'espace libre autour d'elles
Masse volumique \mu le kilogramme par mètre cube (kg·m–3)

Le kg·L–1 et le g·L–1

 

1 kg·L–1=103 kg·m–3


1 g·L–1 = 1kg·m–3
Quantifie la masse de fluide contenu dans un certain volume

Au niveau de la mer (altitude 0 m) et en conditions climatiques standards, l'air atmosphérique est caractérisé par : 

  • sa température moyenne : T = 15 °C ;
  • sa pression atmosphérique : patm = 1 013 hPa ;

sa masse volumique : \mu = 1,3 g·L–1

Chaque variable d'état peut être mesurée à l'aide de l'instrument adapté :

  • Un thermomètre pour la température
  • Un manomètre pour la pression
  • Une balance et une éprouvette graduée pour la masse volumique
II

La pression d'un fluide

A

Notion de pression

La notion de pression est utile pour évaluer l'espace qui sépare les particules d'un fluide.

 

Elle est liée au nombre de chocs de ces particules sur les parois de l'enceinte qui le contient ce fluide.

Pression d'un fluide

La pression d'un fluide, notée p, quantifie le nombre de chocs des particules qui le composent sur les parois de l'enceinte qui le contient. 

Son unité est le Pascal (Pa).

La pression peut s'exprimer en d'autres unités, dont notamment :

  • l'hectopascal (hPa) : 1 hPa = 10^{2} Pa ;
  • le bar (bar) : 1 bar = 1\times 10^{5} Pa = 10^{3} hPa ;
  • l'atmosphère (atm) : 1 atm = 1 013 hPa.

Une bouteille utilisée en plongée sous-marine contient de l'air comprimé à la pression de 2{,}10\times 10^{7} Pa, soit 2{,}10\times 10^{5} hPa, ou 210 bar.

On appelle « manomètre » l'instrument qui mesure la pression d'un fluide.

La pression est aussi liée à l'espace qui sépare les particules du fluide : pour un même volume, plus la pression d'un fluide est importante, plus les particules qui le composent sont proches les unes des autres.

-

Lorsqu'on comprime le gaz contenu dans une seringue, en poussant son piston, on augmente sa pression et les particules qui le composent sont alors plus proches les unes des autres.

B

La pression atmosphérique

On appelle pression atmosphérique la pression de l'air de l'atmosphère.

Pression atmosphérique

La pression atmosphérique, notée patm, est la pression de l'air de l'atmosphère. Elle dépend des conditions météorologiques et diminue avec l'altitude. En moyenne, au niveau de la mer (altitude nulle) : 

p_{atm}=1 013 hPa.

Au sommet de l'Everest (d'altitude 8 848 m), la pression atmosphérique est seulement de 315 hPa.

Les points situés sur la surface libre d'un liquide au repos sont à la même pression que l'air situé juste au-dessus.

Surface libre d'un liquide

Surface libre d'un liquide

Les points situés à la surface d'une étendue d'eau à une altitude de 0 m ont pour pression la pression atmosphérique patm, soit 1 013 hPa (environ 1 bar).

On appelle « baromètre » l'instrument qui mesure la pression atmosphérique.

Un baromètre

Un baromètre

Certains manomètres sont dits “relatifs”. Cela signifie qu'ils mesurent la différence de pression \Delta p entre le fluide étudié et l'air. 

La pression du fluide s'obtient donc en ajoutant à la valeur mesurée la pression atmosphérique.

Si un manomètre relatif affiche une valeur de 500 hPa, la pression du fluide étudié est :

  • p = \Delta p + p_{atm}
  • p = 500 + 1 013
  • p = 1 513 hPa
C

Les forces pressantes

Les particules constituant un fluide étant en perpétuel mouvement, elles entrent en collision avec les parois de l'enceinte ou du récipient qui les contient.

Force pressante

La force pressante \overrightarrow{F_{p}} modélise l'action des chocs des particules d'un fluide sur les parois du récipient qui le contient.

Ses caractéristiques sont :

  • point d'application : tout point de la paroi ;
  • direction : perpendiculaire à la paroi ;
  • sens : orienté du fluide liquide vers la paroi ;
  • valeur : augmente avec la pression du fluide et la surface de la paroi considérée.
Représentation de la force pressante exercée par l'air sur une paroi
Représentation de la force pressante exercée par l'air sur une paroi

Valeur de la force pressante exercée par un fluide

La valeur de la force pressante exercée par un fluide sur une paroi est proportionnelle à la pression p du fluide et à la surface S de la paroi :

F_{p (N)} = p_{(Pa)} \times S_{(m^2)}

La valeur de la force pressante exercée par un gaz à la pression atmosphérique de 1 013 hPa sur une paroi de surface 2,0 m² est :

   F_{p (N)} = p_{(Pa)} \times S_{(m^2)}\\ F_{p (N)} = 1 013·10^2 \times 2{,}0\\ F_{p (N)} = 2{,}0·10^5 N

III

Modèles de comportement d'un fluide

A

Loi de Mariotte

Énoncé

Les liquides considérés comme incompressibles obéissent à la loi de la statique des fluides.

Loi de Mariotte

À température constante et pour une quantité de gaz donnée, le produit de la pression p par le volume V est constant :

p \times V = k     où k est une constante

Ce qui donne, pour une modification du fluide entre un état initial et un état final :

p_{initial} \times V_{initial} = p_{final} \times V_{final}

Si un ballon de baudruche gonflé avec 1,5 L d'air à une altitude nulle était amené, sans perte d'air, au sommet de l'Everest où la pression de l'air est 315 hPa, son volume y serait de 4,82 L :

p_{atm}\times V_{i} = p_{Everest}\times V_{f} \Rightarrow V_{f} = V_{i} \times \dfrac{p_{atm}}{p_{Everest}} = 1{,}5 \times \dfrac{1 013}{315} = 4{,}82 L

pinitial et pfinal doivent avoir la même unité ; de même avec Vinitial et Vfinal.

On peut aussi utiliser la loi de Mariotte en disant qu'à température constante et pour une quantité de gaz donnée, les variations de pression et de volume sont inversement proportionnelles.

D'après la loi de Mariotte, si la pression d'un gaz est multipliée par x, le volume qu'il occupe est divisé par x.

Pour vérifier expérimentalement la loi de Mariotte, on suit un protocole précis.

On relie une seringue pleine d'air à un manomètre.

Au fur et à mesure qu'on comprime l'air contenu dans la seringue en poussant le piston, sa pression augmente. 

On note alors les mesures des volumes et des pressions correspondantes.

Dispositif de vérification de la loi de Mariotte

Dispositif de vérification de la loi de Mariotte

On trace le graphique représentant la pression de l'air en fonction de l'inverse du volume (ces grandeurs pouvant être exprimées dans des unités autres que leurs unités légales).

-

On conclut : 

  • le graphique représentant la pression de l'air en fonction de l'inverse du volume étant une droite qui passe par l'origine ;
  • cela signifie que ces deux grandeurs sont proportionnelles ;
  • les grandeurs vérifient la relation linéaire : p = a \times \dfrac{1}{V}, où a est le coefficient directeur de la droite ;
  • a étant une constante, on vérifie bien la loi de Mariotte :  p \times V = a = constante
B

Loi fondamentale de la statique des fluides

Énoncé

Les liquides considérés comme incompressibles obéissent à la loi de la statique des fluides.

Loi fondamentale de la statique des fluides

Dans un fluide incompressible, la différence de pression entre deux points A et B est proportionnelle à la hauteur qui les sépare. 

-

Dans le cas où le point B est en dessous du point A, donc à une pression supérieure :

\Delta p_{(Pa)} = p_{B (Pa)} – p_{A(Pa)} = \mu_{(kg·m^{–3})} \times g_{(N·kg^{–1})} \times h_{(m)}

Soit, en utilisant les altitudes zA et zB des points A et B :

p_{A(Pa)} + \mu_{(kg·m^{–3})} \times g_{(N·kg^{–1})} \times z_{A (m)} = p_{B (Pa)} + \mu_{(kg·m^{–3})} \times g_{(N·kg^{–1})} \times z_{B (m)}

Où :

  • \mu   est la masse volumique du fluide incompressible ;
  • g est l'intensité de la pesanteur, soit g = 9,81 N·kg–1 que l'on arrondit souvent à g = 10 N·kg–1

Une habitation est alimentée par un château d'eau d'altitude 40 m, dans lequel un réservoir contient de l'eau à la pression atmosphérique. L'altitude de ce compteur étant de 3,1 m, la pression de l'eau qui y arrive est :

p_{réservoir (Pa)} + \mu_{(kg·m^{–3})} \times g_{(N·kg^{–1})} \times z_{réservoir (m)} = p_{compteur (Pa)} + \mu_{(kg·m^{–3})} \times g_{(N·kg^{–1})} \times z_{compteur (m)}

D'où :

p_{compteur (Pa)} = p_{réservoir (Pa)} + \mu_{(kg·m^{–3})} \times g_{(N.kg^{−1})} \times z_{réservoir (m)} – \mu_{(kg·m^{–3})} \times g_{(N·kg^{–1})} \times z_{compteur (m)}

p_{compteur (Pa)} = p_{réservoir (Pa)} + \mu_{(kg·m^{–3})} \times g_{(N·kg^{–1})} \times (z_{réservoir (m)} – z_{compteur (m)})

p_{compteur (Pa)} = 1 013·10^2 + 1 000 \times 10 \times (40 – 3{,}1)

p_{compteur (Pa)} = 4{,}7·10^5 Pa 

Dans ces formules, la pression ne peut être exprimée qu'en Pascals (Pa) et la hauteur (ou profondeur) en mètres (m).

Le produit \mu_{(kg·m^{–3})} \times g_{(N·kg^{–1})} \times (z_{A (m)} – z_{B (m)})   correspond au poids de la colonne d'eau située entre les points A et B, qui est responsable de l'augmentation de la pression.

L'une des conséquences de la loi de statique des fluides est que tous les points d'un fluide situés dans un même plan horizontal sont à la même pression.

-

Puisque zC = zB, on a pC = pB.

Et puisque zA >zB, on a pC > pA et pB > pA.

On peut montrer que la pression de l'eau augmente de 1 bar tous les 10 m. En effet, pour une hauteur de 10 m entre deux points, on a :

Delta p_{(Pa)} = \mu_{(kg·m^{–3})} \times g_{(N·kg^{–1})} \times h_{(m)}\\Delta p_{(Pa)} = 1 000 \times 10  \times 10\\Delta p_{(Pa)} = 1{,}0 \times 10^5 Pa\\Delta p_{(Pa)} = 1{,}0 bar

Évolution de la pression de l'eau en fonction de la profondeur

Évolution de la pression de l'eau en fonction de la profondeur

Étant donné que la pression augmente avec la profondeur, le volume des gaz diminue avec elle, en accord avec la loi de Mariotte.

Un ballon contient 4 L d'air à la pression atmosphérique. Son volume diminue au fur et à mesure qu'on augmente la profondeur à laquelle on l'immerge.

Évolution du volume d'un gaz en fonction de la profondeurImage à reproduire

Évolution du volume d'un gaz en fonction de la profondeurImage à reproduire

C'est le même phénomène qui explique que les bulles de gaz expulsées par le détendeur d'un plongeur grossissent en remontant vers la surface.

-

© Pixabay

Pour vérifier expérimentalement la loi de statique des fluides, on suit le protocole suivant.

On remplit une grande éprouvette graduée avec un liquide transparent et on y immerge un capteur de pression relié à un manomètre.

Dispositif de vérification de la loi de la statique des fluides

Dispositif de vérification de la loi de la statique des fluides

Au fur et à mesure qu'on immerge le capteur, on mesure, à l'aide d'une règle, sa profondeur et la pression correspondante. 

On en déduit la différence de pression \Delta p  entre la pression mesurée et la pression atmosphérique : \Delta p = p_{mesurée} – p_{atm}.

On trace le graphique représentant la différence de pression  \Delta p, exprimée en Pascal (Pa) et la profondeur h, exprimée en mètres (m).

-

On conclut : le graphique représentant la différence de pression \Delta p en fonction de la profondeur h étant une droite qui passe par l'origine, ces deux grandeurs sont proportionnelles et vérifient la relation linéaire : \Delta p = a \times h, où a est le coefficient directeur de la droite. 

La loi de la statique des fluides est donc bien vérifiée.

À partir de la mesure du coefficient directeur a, on peut mesurer la masse volumique du liquide contenu dans l'éprouvette. 

En effet, l'équation de la droite obtenue est \  Delta p = a \times h  et, d'après la loi de la statique des fluides,  \Delta p = \mu \times g \times h, on en déduit que :

a = \mu \times g

et donc que :

\mu = \dfrac{a}{g}

Si on remplit l'éprouvette graduée avec de l'huile d'olive, on trouve un coefficient directeur a = 1{,}1 \times 10^4.

D'où : 

\mu = \dfrac{a}{g} =  \dfrac{1{,}1 \times 10^4}{10}\\\mu = 1{,}1 \times 10^3 kg·m–3

IV

Récapitulatif

Fluide Regroupe les liquides et les gaz, qui sont constitués de particules en mouvement (contrairement aux solides).
Variables d'état Grandeurs macroscopiques qui suffisent à décrire l'état d'un fluide au repos : température, pression et masse volumique.
Pression d'un fluide

Quantifie le nombre de chocs des particules qui composent un fluide sur les parois de l'enceinte qui le contient. 

Elle est mesurée avec un manomètre et son unité est le Pascal (Pa) mais elle est souvent exprimée avec d'autres unités :

  • L'hectopascal (hPa) : 1 hPa = 10^{2} Pa
  • Le bar (bar) : 1 bar = 1\times 10^{5} Pa = 10^{3} h Pa
  • L'atmosphère (atm) : 1 atm = 1 013 hPa
 Plus la pression d'un fluide est importante, plus les particules qui le composent sont proches les unes des autres.
Pression atmosphérique

Pression de l'air de l'atmosphère et des points situés sur la surface libre d'un liquide au repos, en équilibre avec l'air. 

Elle est mesurée avec un baromètre.

Elle dépend des conditions météorologiques et diminue avec l'altitude. 

En moyenne, au niveau de la mer (altitude nulle) : p_{atm}=1 013 hPa.

Forces pressantes

\overrightarrow{F_{p}}

Elles modélisent l'action des chocs des particules d'un fluide sur les parois du récipient qui le contient. 

Caractéristiques :

  • Point d'application : tout point de la paroi
  • Direction : perpendiculaire à la paroi
  • Sens : orienté du fluide liquide vers la paroi

Valeur : F_{p (N)} = p_{(Pa)} \times S_{(m^2)}

Loi de Mariotte

À température constante et pour une quantité de gaz donnée, le produit de la pression p par le volume V est constant :

p \times V = k   où k est une constante.

  Soit pour une modification du fluide entre un état initial et un état final :
p_{initial} \times V_{initial} = p_{final} \times V_{final}
Loi fondamentale de la statique des fluides

Dans un fluide incompressible (comme un liquide), la différence de pression entre deux points A et B est proportionnelle à la hauteur qui les sépare :

\Delta p_{(Pa)} = p_{B (Pa)} − p_{A(Pa)} = \mu_{(kg·m^{–3})} \times g_{(N·kg^{–1})} \times h_{(m)}

Soit, en utilisant les altitudes zA et zB des points A et B :

p_{A(Pa)} + \mu_{(kg·m^{–3})} \times g_{(N·kg^{–1})} \times z_{A (m)} = p_{B (Pa)} + \mu_{(kg·m^{–3})} \times g_{(N·kg^{–1})} \times z_{B (m)}

Dans le cas de l'eau, sa pression augmente de 1 bar tous les 10 m.

Forces pressantes

Forces pressantes