La description d’un fluide au reposCours

I

La description macroscopique d'un fluide

Il est impossible de définir l'état d'un fluide au repos à l'échelle microscopique car il faudrait indiquer, à chaque instant, la position et la vitesse de chacune des particules qui le constituent. Cependant, quelques grandeurs permettent de décrire convenablement l'état d'un fluide à l'échelle macroscopique.

A

La notion de fluide

On appelle fluide tout état de la matière dans lequel les particules sont en mouvement.

Fluide

Le terme « fluide » regroupe les liquides et les gaz.

L'air et l'eau liquide sont des fluides.

Par opposition aux solides, les fluides sont constitués de particules en mouvement. 

Ils n'ont pas de forme propre et épousent la forme de leur contenant.

  • Dans les liquides, les particules ont un mouvement incessant et désordonné, mais restent néanmoins très proches les unes des autres.
  • Dans les gaz, les particules sont complètement libres de se déplacer dans tout le volume dont elles disposent.
propriétés fluides liquides gaz

Mouvement des particules d'un liquide et d'un gaz

B

Les grandeurs décrivant l'état macroscopique d'un fluide

La température, la pression et la masse volumique permettent de décrire convenablement l'état d'un fluide à l'échelle macroscopique.

À notre échelle (macroscopique), un nombre restreint de paramètres (pression, température et masse volumique) permet de décrire l'état d'un fluide. On les appelle les variables d'état.

Variable d'état Unité légale Unité couramment utilisée Interprétation microscopique
Température T Le kelvin (K)

Le degré Celsius (°C)


T (\text{°C}) = T (\text{K}) + 273{,}15

Quantifie l'agitation thermique des particules
Pression p Le pascal (Pa)

Le bar (bar)


1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}

Quantifie le nombre de chocs des particules sur les parois, et donc l'espace libre autour d'elles
Masse volumique \mu Le kilogramme par mètre cube (kg·m–3)

Le kg·L–1 et le g·L–1

 

 1 \text{ kg$\cdot$L}^{–1}=10^3 \text{kg$\cdot$m}^{–3}


1 \text{ g$\cdot$L}^{–1} = 1 \text{ kg$\cdot$m}^{–3}

Quantifie la masse de fluide contenu dans un certain volume

Variables d'état 

Les variables d'état sont les grandeurs macroscopiques qui suffisent à décrire l'état d'un fluide au repos.

Au niveau de la mer (altitude 0 m) et en conditions climatiques standard, l'air atmosphérique est caractérisé par :

  • sa température moyenne : T = \text{15 °C} ;
  • sa pression atmosphérique : p_{\text{atm}} = \text{1 013 hPa} ;
  • sa masse volumique : \mu_{\text{air}}= 1{,}3 \text{ g$\cdot$L}^{–1}.

Chaque variable d'état peut être mesurée à l'aide de l'instrument adapté :

  • un thermomètre pour la température ; 
  • un manomètre pour la pression ;
  • une balance et une éprouvette graduée pour la masse volumique.
II

La pression d'un fluide

La pression d'un fluide est liée aux mouvements et aux chocs que les particules qu'il contient exercent sur les parois d'une enceinte. Que ce soit un liquide ou l'air atmosphérique, les chocs exercent des forces pressantes sur les parois d'une enceinte.

A

La notion de pression

La notion de pression est utile pour évaluer l'espace qui sépare les particules d'un fluide. Elle est liée au nombre de chocs des particules sur les parois de l'enceinte qui contient le fluide.

Pression d'un fluide

La pression d'un fluide, notée p, quantifie le nombre de chocs des particules qui le composent sur les parois de l'enceinte qui le contient. Son unité est le pascal (Pa).

La pression peut s'exprimer en d'autres unités, dont notamment :

  • l'hectopascal (hPa) : 1 \text{ hPa} = 10^{2} \text{ Pa} ;
  • le bar (bar) : 1 \text{ bar} = 1\times 10^{5} \text{ Pa} = 10^{3} \text{ hPa} ;
  • l'atmosphère (atm) : 1 \text{ atm} = \text{1 013 hPa}.

Une bouteille utilisée en plongée sous-marine contient de l'air comprimé à la pression de 2{,}10\times 10^{7} \text{ Pa}, soit 2{,}10\times 10^{5} \text{ hPa}, ou 210 bars.

La pression est aussi liée à l'espace qui sépare les particules du fluide : pour un même volume, plus la pression d'un fluide est importante, plus les particules qui le composent sont proches les unes des autres.

propriétés pression espace sépare particules fluide

Lorsqu'on comprime le gaz contenu dans une seringue, en poussant son piston, on augmente sa pression et les particules qui le composent sont alors plus proches les unes des autres. Plus la pression dans la seringue est grande, plus il est difficile de continuer à appuyer sur le piston.

B

La pression atmosphérique

On appelle pression atmosphérique la pression de l'air qui compose l'atmosphère.

Pression atmosphérique

La pression atmosphérique, notée p_{\text{atm}}, est la pression de l'air de l'atmosphère. Elle dépend des conditions météorologiques et diminue avec l'altitude. En moyenne, au niveau de la mer (altitude nulle), on a : 

p_{\text{atm}}=\text{1 013 hPa}

Au sommet de l'Everest (d'altitude 8 848 m), la pression atmosphérique est de seulement 315 hPa.

Les points situés sur la surface libre d'un liquide au repos sont à la même pression que l'air situé juste au-dessus.

Les points situés à la surface d'une étendue d'eau à une altitude de 0 m ont pour pression la pression atmosphérique p_{\text{atm}}, soit 1 013 hPa (environ 1 bar).

surface libre liquide

Surface libre d'un liquide

On appelle « baromètre » l'instrument qui mesure la pression atmosphérique.

baromètre instrument mesure pression atmosphérique

Un baromètre

Certains manomètres sont dits « relatifs ». Cela signifie qu'ils mesurent la différence de pression \Delta p entre le fluide étudié et l'air. 

La pression du fluide s'obtient donc en ajoutant à la valeur mesurée la pression atmosphérique.

Si un manomètre relatif affiche une valeur de 500 hPa, la pression du fluide étudié est :
p = \Delta p + p_{\text{atm}}
p = 500 + \text{1 013}
p = \text{1 513 hPa}

C

Les forces pressantes

Les particules constituant un fluide étant en perpétuel mouvement, elles entrent en collision avec les parois de l'enceinte ou du récipient qui les contient et exercent des forces pressantes.

Force pressante

La force pressante \overrightarrow{F_{p}} modélise l'action des chocs des particules d'un fluide sur les parois du récipient qui le contient. Ses caractéristiques sont :

  • point d'application : tout point de la paroi ;
  • direction : perpendiculaire à la paroi ;
  • sens : orienté du fluide liquide vers la paroi ;
  • valeur : augmente avec la pression du fluide et la surface de la paroi considérée.
définition force pressante
Représentation de la force pressante exercée par l'air sur une paroi

Valeur de la force pressante exercée par un fluide

La valeur de la force pressante exercée par un fluide sur une paroi est proportionnelle à la pression p du fluide et à la surface S de la paroi :

F_{p (\text{N})} = p_{(\text{Pa})} \times S_{(\text{m}^2)}

La valeur de la force pressante exercée par un gaz à la pression atmosphérique de 1 013 hPa sur une paroi de surface 2,0 m2 est :
F_{p (\text{N})} = p_{(\text{Pa})} \times S_{(\text{m}^2)}\\ F_{p (\text{N})} = \text{1 013}·10^2 \times 2{,}0\\ F_{p (\text{N})} = 2{,}0·10^5 \text{ N}

III

Les modèles de comportement d'un fluide

Deux lois permettent de modéliser le comportement d'un fluide : la loi de Mariotte et la loi fondamentale de la statique des fluides.

A

La loi de Mariotte

Pour une quantité de matière donnée et à une température constante, le produit de la pression d'un fluide par son volume est une constante.

Loi de Mariotte

À température constante et pour une quantité de gaz donnée, le produit de la pression p par le volume V est constant :

   p \times V = kk est une constante

Ce qui donne, pour une modification du fluide entre un état initial et un état final :

p_{\text{initial}} \times V_{\text{initial}} = p_{\text{final}} \times V_{\text{final}}

Si un ballon de baudruche gonflé avec 1,5 L d'air à une altitude nulle était amené, sans perte d'air, au sommet de l'Everest où la pression de l'air est 315 hPa, son volume y serait de 4,82 L :
p_{\text{atm}}\times V_{i} = p_{\text{Everest}}\times V_{f}

Soit :
V_{f} = V_{i} \times \dfrac{p_{\text{atm}}}{p_{\text{Everest}}}
V_{f} = 1{,}5 \times \dfrac{\text{1 013}}{315}
V_{f} = 4{,}82 \text{ L}

p_{\text{initial}} et p_{\text{final}} doivent avoir la même unité, de même avec V_{\text{initial}} et V_{\text{final}}.

On peut aussi utiliser la loi de Mariotte en disant qu'à température constante et pour une quantité de gaz donnée, les variations de pression et de volume d'un gaz sont inversement proportionnelles.

D'après la loi de Mariotte, à température constante, le produit p \times V est constant. Donc, si la pression d'un gaz est multipliée par x, le volume qu'il occupe est divisé par x.

Pour vérifier expérimentalement la loi de Mariotte, on suit un protocole précis.

Étape 1
On relie une seringue pleine d'air à un manomètre.

Étape 2
Au fur et à mesure qu'on comprime l'air contenu dans la seringue en poussant le piston, sa pression augmente. On note alors les mesures des volumes et des pressions correspondantes.

protocole expérimentation vérification loi Mariotte

Dispositif de vérification de la loi de Mariotte

Étape 3
On trace le graphique représentant la pression de l'air en fonction de l'inverse du volume (ces grandeurs pouvant être exprimées dans des unités autres que leurs unités légales).

étape 3 protocole expérimentation vérification loi Mariotte

Étape 4
On conclut : 

  • Le graphique représentant la pression de l'air en fonction de l'inverse du volume est une droite qui passe par l'origine.
  • Cela signifie que ces deux grandeurs sont proportionnelles.
  • Les grandeurs vérifient la relation linéaire : p = a \times \dfrac{1}{V}, où a est le coefficient directeur de la droite.
  • a étant une constante, on vérifie bien la loi de Mariotte : p \times V = a = \text{constante}.
B

La loi fondamentale de la statique des fluides

Dans un même fluide, la différence de pression entre deux points est proportionnelle à la hauteur qui les sépare.

Loi fondamentale de la statique des fluides

Dans un fluide incompressible, la différence de pression entre deux points A et B est proportionnelle à la hauteur qui les sépare. 

loi fondamentale statique fluides

Dans le cas où le point B est en dessous du point A, donc à une pression supérieure :

\Delta p_{(\text{Pa})} = p_{B (\text{Pa})} – p_{A(\text{Pa})} = \rho_{(\text{kg$\cdot$m}^{–3})} \times g_{(\text{N$\cdot$kg}^{–1})} \times (z_{A(\text{m})} - z_{B(\text{m})})

Que l'on peut développer en :
p_{A(\text{Pa})} + \rho_{(\text{kg$\cdot$m}^{–3})} \times g_{(\text{N$\cdot$kg}^{–1})} \times z_{A (\text{m})} = p_{B (\text{Pa})} + \rho_{(\text{kg$\cdot$m}^{–3})} \times g_{(\text{N$\cdot$kg}^{–1})} \times z_{B (\text{m})}

Où :

  • \rho est la masse volumique du fluide incompressible ;
  • g est l'intensité de la pesanteur, soit g = 9{,}81 \text{ N$\cdot$kg}^{–1} que l'on arrondit souvent à g = 10 \text{ N$\cdot$kg}^{–1}

Une habitation est alimentée par un château d'eau d'altitude 40 m, dans lequel un réservoir contient de l'eau à la pression atmosphérique. L'altitude de ce compteur étant de 3,1 m, la pression de l'eau qui y arrive est :
p_{\text{réservoir } (\text{Pa})} + \rho_{(\text{kg$\cdot$m}^{–3})} \times g_{(\text{N$\cdot$kg}^{–1})} \times z_{\text{réservoir (m)}} = p_{\text{compteur (Pa)}} + \rho_{(\text{kg$\cdot$m}^{–3})} \times g_{(\text{N$\cdot$kg}^{–1})} \times z_{\text{compteur (m)}}

D'où :
p_{\text{compteur (Pa)}} = p_{\text{réservoir (Pa)}} + \rho_{(\text{kg$\cdot$m}^{–3})} \times g_{(\text{N.kg}^{−1})} \times z_{\text{réservoir (m)}} – \rho_{(\text{kg$\cdot$m}^{–3})} \times g_{(\text{N$\cdot$kg}^{–1})} \times z_{\text{compteur (m)}}
p_{\text{compteur (Pa)}} = p_{\text{réservoir (Pa)}} + \rho_{(\text{kg$\cdot$m}^{–3})} \times g_{(\text{N$\cdot$kg}^{–1})} \times (z_{\text{réservoir (m)}} – z_{\text{compteur (m)}})
p_{\text{compteur (Pa)}} = \text{1 013}·10^2 + \text{1 000} \times 10 \times (40 – 3{,}1)  
p_{\text{compteur (Pa)}} = 4{,}7·10^5 \text{ Pa}

Dans ces formules, la pression ne peut être exprimée qu'en pascals (Pa) et la hauteur (ou profondeur) qu'en mètres (m).

Le produit \rho_{(\text{kg$\cdot$m}^{–3})} \times g_{(\text{N$\cdot$kg}^{–1})} \times (z_{A (\text{m})} – z_{B (\text{m})}) correspond au poids de la colonne d'eau située entre les points A et B, qui est responsable de l'augmentation de la pression.

L'une des conséquences de la loi de statique des fluides est que tous les points d'un fluide situés dans un même plan horizontal sont à la même pression.

conséquence loi statique fluides

Puisque z_C = z_B, on a p_C = p_B.

Et puisque z_A \gt z_B, on a p_C \gt p_A et p_B \gt p_A.

On peut montrer que la pression de l'eau augmente de 1 bar tous les 10 m. En effet, pour une hauteur de 10 m entre deux points, on a :
\Delta p_{(\text{Pa})} = \mu_{(\text{kg$\cdot$m}^{–3})} \times g_{(\text{N$\cdot$kg}^{–1})} \times h_{(\text{m})}
\Delta p_{(\text{Pa})} = \text{1 000} \times 10 \times 10
\Delta p_{(\text{Pa})} = 1{,}0 \times 10^5 {\text{ Pa}}
\Delta p_{(\text{Pa})} = 1{,}0 \text{ bar}

évolution pression eau fonction profondeur

Évolution de la pression de l'eau en fonction de la profondeur

Étant donné que la pression augmente avec la profondeur, le volume des gaz diminue avec elle, en accord avec la loi de Mariotte.

Un ballon contient 4 L d'air à la pression atmosphérique. Son volume diminue au fur et à mesure qu'on augmente la profondeur à laquelle on l'immerge.

évolution volume gaz fonction profondeur

Évolution du volume d'un gaz en fonction de la profondeur

C'est le même phénomène qui explique que les bulles de gaz expulsées par le détendeur d'un plongeur grossissent en remontant vers la surface.

bulles gaz grossissent remontent surface

© Pixabay

Pour vérifier expérimentalement la loi de statique des fluides, on suit le protocole suivant :

Étape 1
On remplit une grande éprouvette graduée avec un liquide transparent et on y immerge un capteur de pression relié à un manomètre.

étape 1 protocole expérimentation loi statique fluides

Dispositif de vérification de la loi de la statique des fluides

Étape 2
Au fur et à mesure qu'on immerge le capteur, on mesure, à l'aide d'une règle, sa profondeur et la pression correspondante. On en déduit la différence de pression \Delta p entre la pression mesurée et la pression atmosphérique : \Delta p = p_{\text{mesurée}} – p_{\text{atm}}.

Étape 3
On trace le graphique représentant la différence de pression \Delta p, exprimée en pascals (Pa) et la profondeur h, exprimée en mètres (m).

étape 3 protocole expérimentation loi statistique fluides

Étape 4
On conclut : le graphique représentant la différence de pression \Delta p en fonction de la profondeur h étant une droite qui passe par l'origine, ces deux grandeurs sont proportionnelles et vérifient la relation linéaire : \Delta p = a \times h, où a est le coefficient directeur de la droite. La loi de la statique des fluides est donc bien vérifiée.

Étape 5
À partir de la mesure du coefficient directeur a, on peut mesurer la masse volumique du liquide contenu dans l'éprouvette. En effet, l'équation de la droite obtenue est \Delta p = a \times h et, d'après la loi de la statique des fluides, \Delta p = \rho \times g \times h, on en déduit que :
a = \rho \times g

Soit :
\rho = \dfrac{a}{g}

Si on remplit l'éprouvette graduée avec de l'huile d'olive, on trouve un coefficient directeur a = 1{,}1 \times 10^4.

D'où : 
\rho = \dfrac{a}{g}
\rho = \dfrac{1{,}1 \times 10^4}{10}
\rho =  1{,}1 \times 10^3 \text{ kg$\cdot$m}^{–3}

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