Les forces et le principe d'inertieCours

I

La modélisation des actions mécaniques par les forces

A

Les actions mécaniques

Action mécanique 

Une action mécanique est un concept utilisé pour décrire tout phénomène provoquant une modification du mouvement d'un corps ou une déformation. Elle est exercée par un objet (l'acteur) sur un autre objet (le receveur).

Lorsqu'un footballeur (acteur) frappe le ballon (receveur), une action mécanique est exercée par le pied du joueur sur le ballon.

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On distingue :

  • Les actions de contact qui ne s'exercent que lors du contact entre l'acteur et le receveur.
  • Les actions à distance qui s'exercent même si l'acteur et le receveur ne sont pas en contact.

L'action qu'exerce un footballeur sur un ballon est une action de contact alors que l'action qu'exerce la Terre sur le ballon (son poids) est une action à distance.

B

Les forces 

Force 

Une force est un vecteur qui modélise une action mécanique.

Les caractéristiques d'une force sont :

  • son point d'application (le point à partir duquel elle s'exerce) ;
  • sa direction ;
  • son sens ;
  • sa norme, intensité ou valeur exprimée en newtons (N).

 

Elle est représentée par un vecteur, appelé vecteur force.

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Pour représenter un vecteur force sur un schéma, il faut définir une échelle mettant en relation la valeur en newtons (N) à sa longueur en centimètres (cm).

Un footballeur exerce une force  \textcolor{Red}{\displaystyle{\overrightarrow{F}}} de valeur 12 N. Si l'échelle choisie pour représenter les forces est :  \text{1,0 cm}\Leftrightarrow\text{4,0 N}, la longueur du vecteur représentant cette force est :

\displaystyle{\dfrac{12}{4,0}=}\text{ 3,0 cm}

Il ne faut pas confondre le vecteur force ( \textcolor{Red}{\left[\overrightarrow{F}\right]}  par exemple) et sa valeur ( F ) qui n'est qu'une de ses caractéristiques.

Dans l'exemple précédent, la valeur de la force \textcolor{Red}{\displaystyle{\overrightarrow{F}}}  est  \textcolor{cadetblue}{ \displaystyle{F = 12 }\text{ N}}  et la longueur du vecteur la représentant est de 3,0 cm (on n'écrit surtout pas \displaystyle{\overrightarrow{F} = 12}\text{ N}  ou \displaystyle{F = 3,0} \text{ cm} ).

C

Les forces à connaître 

Les corps qui ont une masse, que l'on peut désigner comme « corps massiques », peuvent être soumis à différentes forces.

1

L'interaction gravitationnelle 

Deux corps massiques A et B exercent l'un sur l'autre une interaction gravitationnelle modélisée par les forces \ce{F_{A/B}} -> et \ce{F_{B/A}} -> dont les caractéristiques sont :

  • Point d'application : le centre de masse du corps attiré.
  • Direction : la direction de la droite passant par les centres de masse des deux corps.
  • Sens : du corps attiré vers le corps qui attire.
  • Valeur :  \ce{F_{A/B}}  ou  \ce{F_{B/A}}
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La valeur de la force d'attraction gravitationnelle s'exerçant entre deux corps massiques A et B est proportionnelle au produit de leur masse et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare :

{\text{F}_{\text{A/B}\left(\text{N}\right)}} = {\text{F}_{\text{B/A}\left(\text{N}\right)}} = \text{G}x\dfrac{{m_{\text{A}\left(\text{kg}\right)}}}{\left({d_{\text{AB}\left(\text{m}\right)}}\right)^{2}}

Avec G : constante universelle de la gravitation,  \text{G} = 6,67.10^{-11} \text{ N.m}^{2}.\text{kg}^{-2}

On cherche à calculer la valeur de la force d'interaction gravitationnelle entre le Soleil et la Terre.

Données :  

  • Masse du Soleil :  m_{\text{S}} = 1,989\times10^{30} \text{ kg}
  • Masse de la Terre :  m_{\text{T}} = 5,98\times10^{24} \text{ kg}
  • Distance entre les centres du Soleil et de la Terre :  d_{\text{ST}} = 1,49\times10^{8} \text{ km}

\text{F} = \text{G}\times \dfrac{m_{\text{S}}\times m_{\text{T}}}{\left(d_{\text{ST}}\right)²} = 6,67\times10^{-11} \times \dfrac{1,989\times10^{30}\times5,98\times10^{24} }{\left(1,49\times10^{8}\times10^{3}\right)^2}

\text{F} = 3,57\times10^{22} \text{ N}

2

Le poids

Dans la suite du cours, on fait l'hypothèse que le poids d'un corps est uniquement dû à l'interaction gravitationnelle, en négligeant par exemple les effets de la rotation de la Terre.

Un corps massique situé dans le voisinage d'un astre est soumis à son attraction gravitationnelle, modélisée par son poids P dont les caractéristiques sont :

  • Point d'application : le centre de masse du corps attiré
  • Direction : toujours verticale
  • Sens : vers le centre de la Terre
  • Valeur : P
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La valeur du poids d'un corps est proportionnelle à sa masse :

\text{P}=m_{\left(\text{kg}\right)}\times g_{\left(\text{N.kg}^{-1}\right)}

Avec g : intensité de la pesanteur

Sur Terre :  g=9,81\text{ N.kg}^{-1}

 

 

Calcul de la valeur du poids d'une personne de 55 kg (sur Terre) :

\text{P} = m \times g = 55 \times 9,81 = 5,4\times 10^{2} \text{ N}

Dans l'hypothèse où la seule origine du poids est l'interaction gravitationnelle, l'intensité de la pesanteur sur un astre peut être déterminée à partir de cette interaction gravitationnelle. En effet, on a alors égalité entre le poids du corps et l'attraction gravitationnelle qu'exerce sur lui l'astre :

\text{P}=\text{F}_{\text{astre/corps}}\\m_{\text{corps}} \times g_{\text{astre}} = \text{G} \times \dfrac{m_{\text{corps}}\times m_{\text{astre}}}{d^{2}}\\g_{\text{astre}}= \text{G} \times \dfrac{m_{\text{astre}}}{d^{2}}

Généralement, le corps est proche de la surface de l'astre, on a donc :
d=\text{R}_{\text{astre}}

D'où : 

g_{\text{astre}}= \text{G} \times \dfrac{m_{\text{astre}}}{{\text{R}_{\text{astre}}}^{2}}

L'intensité de pesanteur sur Terre est :

g= \text{G} \times \dfrac{m_{\text{T}}}{{\text{R}_{\text{T}}}^{2}}

Avec :

  • m_{\text{T}}=5,98.10^{24} \text{ kg}
  • R_{\text{T}}=\text{67 370 }\text{ km}

 

D'où :

g=6,67.10^{-11}\times\dfrac{5,98.10^{24}}{\left(\text{6 370}.10^{3} \right)^{2}}\\g=9,81\text{ N.kg}^{-1}

 

3

La réaction normale d'un support

Un corps massique posé sur un support est soumis à sa réaction normale modélisée par la force \overrightarrow{RN} dont les caractéristiques sont :

  • Point d'application : le point de contact entre le corps et le support
  • Direction : toujours perpendiculaire au support
  • Sens : vers le haut
  • Valeur : R_{N}  (que seule une étude des forces peut permettre de déterminer)
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4

La tension d'un fil

Un corps massique relié à un fil ou câble tendu soumis à sa tension modélisée par la force \overrightarrow{T} dont les caractéristiques sont :

  • Point d'application : le point d'attache
  • Direction : celle du fil
  • Sens : du corps vers l'extérieur
  • Valeur : T (que seule une étude des forces peut permettre de déterminer)
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D

 Le principe des actions réciproques (3e loi de Newton)

Si un système A exerce une force  \textcolor{purple}{\displaystyle{\overrightarrow{F_{A/B}}}}.

sur un système B, alors le système B exerce une force  \textcolor{magenta}{\displaystyle{\overrightarrow{F_{B/A}}}}.

-
II

Le principe d'inertie (1re loi de Newton)

A

Le modèle du point matériel

Lorsque les dimensions du système sont petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié, il est possible de limiter l'étude de son mouvement à celle d'un seul point auquel on associe la masse du système, on parle de point matériel. Le plus souvent, le point choisi est le centre de gravité G du système. L'étude du mouvement est alors simplifiée, les déformations et les mouvements de rotation autour du centre de gravité étant alors négligés.

B

L'énoncé du principe d'inertie

L'effet de plusieurs forces peut s'annuler, on dit alors qu'elles se compensent. Leur somme vectorielle est égale au vecteur nul  \overrightarrow{0}.

  • Dans le cas de deux forces, il faut qu'elles aient la même direction, la même valeur et des sens opposés.

Un livre est posé sur une table :

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Le poids et la réaction normale qu'il subit se compensent :  \textcolor{mediumseagreen}{\overrightarrow{P}}+\textcolor{cadetblue}{\overrightarrow{R_{N}}}=\overrightarrow{0}

En effet, ces forces ont bien la même direction (verticale), des sens opposés et la même valeur (puisque représentées par des vecteurs de même longueur).

  • Dans le cas de trois forces, seule une construction vectorielle permet de conclure si elles se compensent ou pas.
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Le poids, la réaction normale et les frottements qu'il subit se compensent :  \textcolor{yellowgreen}{\overrightarrow{P}}+\textcolor{cadetblue}{\overrightarrow{R_{N}}}+\textcolor{orange}{\overrightarrow{f}}=\overrightarrow{0}, comme le montre leur somme vectorielle.

Principe d'inertie

Dans les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique, tout corps soumis à des forces extérieures qui se compensent (ou en l'absence de forces) persévère :

  • dans son état de repos, si sa vitesse initiale est nulle ;
  • dans son mouvement rectiligne et uniforme si sa vitesse initiale n'est pas nulle.

Dans le référentiel terrestre, ce livre est soumis à des forces qui se compensent  \textcolor{mediumseagreen}{\overrightarrow{P}}+\textcolor{cadetblue}{\overrightarrow{R_{N}}}=\overrightarrow{0}. Sa vitesse initiale étant nulle, il demeurera au repos.

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C

La contraposée du principe de l'inertie

On peut aussi utiliser la contraposée du principe de l'inertie : dans les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique, si un objet n'est ni au repos ni en mouvement rectiligne et uniforme, alors on peut en déduire que les forces extérieures qui s'exercent sur lui ne se compensent pas.

Dans le référentiel terrestre, un skieur descend une piste selon un mouvement rectiligne et accéléré 

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On en déduit que les forces qu'il subit ne se compensent pas : \textcolor{mediumseagreen}{\overrightarrow{P}}+\textcolor{cadetblue}{\overrightarrow{R_{N}}}\neq\overrightarrow{0}, ce que montre la construction de leur somme vectorielle :

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Le principe d'inertie est aussi vrai dans des référentiels en mouvement rectiligne et uniforme par rapport aux référentiels terrestre, géocentrique ou héliocentrique.

III

La variation du vecteur vitesse

A

Généralités

La variation du vecteur vitesse instantanée d'un système est due à l'existence d'actions mécaniques extérieures qui ne se compensent pas.

Ainsi, en un point M_{j}, le vecteur variation de la vitesse instantanée   \textcolor{red}{\overrightarrow{\Delta v_{\left( M_{i}\right)}}=\overrightarrow{v_{\left( M_{i+1} \right)}}+\overrightarrow{v_{\left( M_{i-1} \right)}}} a les mêmes direction et sens que la somme des forces extérieures que subit le système.

Lorsque le système n'est pas au repos ou en mouvement rectiligne et uniforme, la variation de son vecteur vitesse est due à l'existence d'actions mécaniques extérieures qui ne se compensent pas.

Une moto est en mouvement rectiligne accéléré sur une route horizontale. Elle est soumise à trois forces extérieures : son poids, la réaction normale du sol et la force exercée par le moteur.

 

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Ici, le poids et la réaction normale se compensent, la somme des forces extérieures que subit la moto se réduit alors à la force \overrightarrow{F}:\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R_{N}} + \overrightarrow{F} =\overrightarrow{F} , car  \overrightarrow{P}+\overrightarrow{R_{N}}=\overrightarrow{0}.

Au point M_{3}, on représente le vecteur variation de la vitesse instantanée  \textcolor{Red}{\overrightarrow{\Delta v_{3}}}  en construisant la différence des vecteurs vitesse instantanée  \textcolor{cadetblue}{\overrightarrow{v_{4}}}  et  \textcolor{mediumseagreen}{\overrightarrow{v_{2}}}\textcolor{Red}{{\overrightarrow{\Delta v_{3}}}} = \textcolor{cadetblue}{\overrightarrow{v_{4}}}-\textcolor{mediumseagreen}{\overrightarrow{v_{2}}}.

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Le vecteur variation de la vitesse instantanée \textcolor{Red}{\overrightarrow{\Delta v_{3}}}  a donc bien la même direction et le même sens que la somme des forces extérieures qui s'appliquent sur la moto et qui se réduit à la force \overrightarrow{F}  exercée par le moteur.

Le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v}  est lié au vecteur accélération : ils ont la même direction et le même sens.

Les effets d'une force sont d'autant plus importants que la masse du corps est faible.

Exercée sur une moto de masse plus faible, la même force exercée par le moteur engendrerait une variation plus importante du vecteur vitesse.

B

Le cas de la chute libre à une dimension

Chute libre 

Un corps est dit en chute libre si la seule force qu'il subit est son poids.

Dans l'atmosphère terrestre, pour qu'un corps soit considéré en chute libre, il faut que les frottements exercés par l'air soient négligeables, ce qui est le cas pour des mouvements de courte durée, par exemple.

Le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{M_{i}}}  d'un corps en chute libre a, en tout point, la même direction et le même sens que le poids du corps \overrightarrow{P}, étant donné que c'est la seule force qu'il subit.

Si le corps est lâché sans vitesse initiale, le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{M_{i}}}  et la vitesse du corps sont de même sens : le mouvement est alors rectiligne et accéléré vers le sol.

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Si le corps est lâché avec une vitesse initiale vers le haut, le vecteur variation de la vitesse instantanée \overrightarrow{\Delta v_{M_{i}}}  et la vitesse du corps sont de sens opposé : le mouvement est alors rectiligne et ralenti.

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Ainsi, la vitesse du corps diminue et, lorsqu'elle devient nulle, il chute vers le bas avec cette fois un mouvement rectiligne et accéléré, similaire à celui d'un corps chutant sans vitesse initiale.  

Récapitulatif 

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