Dans cet exercice, on étudie la réaction qui se produit au sein du réacteur d'une centrale nucléaire. On en déduira notamment la puissance du réacteur.
La réaction est la fission de l'uranium 235 sous l'impact d'un neutron, comme décrit par l'équation :
\ce{^{235}_{92}U} + \ce{^{1}_{0}n}\ce{->}\ce{^{101}_{44}Ru} + \ce{^{132}_{Z_{Cd}}Cd}+ k\ce{^{1}_{0}n}
Données :
- m \left(\ce{^{235}_{92}U}\right) = 234{,}99332 u
- m \left(\ce{^{101}_{44}Ru}\right) = 100{,}90558 u
- m \left(\ce{^{132}_{Z_{Cd}}Cd}\right) = 131{,}94555 u
- m \left(\ce{^{1}_{0}n}\right) = 1{,}00867 u
- 1eV = 1{,}60 \times 10^{-19} J
- 1u = 1{,}66054 \times 10^{-27} kg
Quelles sont les valeurs de Z_{Cd} et k ?
Pour identifier les informations manquantes, on applique les deux lois de conservation mises en jeu lors des réactions nucléaires : celle de la masse (pour déterminer k) et celle de la charge (pour déterminer Z_{Cd} ).
Application de la loi de conservation du nombre de masse
D'après l'équation de l'énoncé :
- Pour les réactifs, on a un nombre de masse de 235+1 = 236.
- Pour les produits, on a un nombre de masse de 101+132+k\times1.
La loi de conservation du nombre de masse stipule que lors d'une réaction nucléaire, le nombre de masse se conserve. On établit donc l'équation qui permet de déterminer k :
236=233+k
On obtient :
k=3
Application de la loi de conservation du nombre de charge
D'après l'équation de l'énoncé :
- Pour les réactifs, on a un nombre de charge de 92+0 = 92.
- Pour les produits, on a un nombre de charge de 44+Z_{Cd}+k\times0.
La loi de conservation du nombre de charge stipule que lors d'une réaction nucléaire, le nombre de charge se conserve. On établit donc l'équation qui permet de déterminer Z_{Cd} :
92 = 44+Z_{Cd}
On obtient :
Z_{Cd} = 48
Ainsi, Z_{Cd} = 48 et k =3 .
On dit que cette réaction provoque une réaction en chaîne.
Pourquoi ?
La réaction est provoquée par l'impact d'un seul neutron sur l'uranium 235.
En revanche, elle produit trois neutrons, qui peuvent aller à leur tour heurter d'autres noyaux d'uranium, et ainsi de suite : on a de plus en plus de neutrons et de plus en plus de fissions de noyaux d'uranium au fil du temps.
C'est pour cela que l'on parle de réaction en chaîne.
Quelle est la perte de masse de la réaction ?
Lors d'une réaction nucléaire, la masse des produits obtenus est inférieure à la masse des réactifs. La masse manquante est appelée "défaut de masse", notée \Delta _m, et a pour expression :
\Delta_{m}=m_{réactifs}-m_{produits}
Calcul de la valeur de la masse des réactifs
m_{réactifs} = m\left(\ce{^{235}_{92}U}\right) + m\left( \ce{^{1}_{0}n}\right)
m_{réactifs} = 234{,}99332+1{,}00867
m_{réactifs} = 236{,}00199 u
Calcul de la valeur de la masse des produits
m_{produits} = m\left(\ce{^{101}_{44}Ru}\right) + m\left( \ce{^{132}_{48}Cd}\right) +3\times m\left( \ce{^{1}_{0}n}\right)
m_{produits} = 100{,}90558+131{,}94555+3×1{,}00867
m_{produits} = 235{,}87714 u
Calcul du défaut de masse
\Delta_{m}=m_{réactifs}-m_{produits}
\Delta_{m}=236{,}00199-235{,}87714
\Delta_{m}=0{,}12485 u
On convertit enfin le résultat en kg :
\Delta_{m}=0{,}12485 \times 1{,}66054\times10^{-27}
\Delta_{m}= 2{,}0732 \times 10^{-28} kg
On décide de négliger l'énergie cinétique de tous les noyaux et particules, hormis celle des neutrons produits par la réaction. On considère que toute l'énergie libérée l'est sous forme d'énergie cinétique de ces neutrons libérés.
Quelle est la valeur de cette énergie libérée par la réaction ?
L'énergie libérée par le système se détermine avec la formule :
E_{libérée} = \Delta m \times c^{2}
Avec :
- E_{libérée}, l'énergie libérée par la réaction (J)
- \Delta m, le défaut de masse de la réaction (kg)
- c, la vitesse de la lumière (m.s-1)
En faisant l'application numérique, on obtient donc :
E_{libérée} = 2{,}0732 \times 10^{-28} \times \left( 3{,}00 \times 10^{8}\right)^{2}
E_{libérée} = 1{,}87 \times 10^{-11} J
On convertit finalement le résultat en mégaélectronvolts :
E_{libérée} = \dfrac{ 1{,}87 \times 10^{-11}}{ 1{,}60 \times 10^{-19} \times 10^{6}}
Donc :
E_{libérée} = 117 MeV
Le réacteur nucléaire étudié consomme une masse M d'environ 2,35 kg d'uranium 235 par jour.
Quelle est la quantité d'énergie E_{jour} libérée par la fission de cette quantité d'uranium ?
Détermination du nombre de noyaux d'uranium concernés
On commence par calculer le nombre de noyaux N contenus dans M à l'aide de la masse d'un noyau d'uranium 235 exprimée en kilogrammes :
N = \dfrac{M}{m\left(\ce{^{235}_{92}U}\right)}
On effectue l'application numérique :
N = \dfrac{2{,}35}{234{,}99392\times1{,}66054 \times 10^{-27}}
N = 6{,}02 \times 10^{24} noyaux
Détermination de l'énergie libérée en un jour
L'énergie libérée en un jour (E_{jour}) correspond donc à l'énergie libérée par la désintégration d'un noyau (déterminée dans la question précédente) multipliée par le nombre d'atomes consommés en un jour soit :
E_{jour} = N \times E
Ce qui, en faisant l'application numérique, donne :
E_{jour} = 6{,}02 \times 10^{24} \times 117
E_{jour} = 7{,}04 \times 10^{26} MeV
On effectue la conversion en Joules :
E_{jour} = 7{,}04 \times 10^{26} \times 1{,}60 \times 10^{-13}
E_{jour} = 1{,}13 \times 10^{14} J
L'énergie libérée par la fission de 2,35 kg d'uranium en un jour correspond à 1{,}13 \times 10^{14} J.
Sachant que 36% de l'énergie libérée est captée et transformée en énergie électrique, quelle est la puissance P du réacteur ?
Détermination de l'énergie électrique
La quantité d'énergie transformée en énergie électrique correspond à 36% de E_{jour} soit :
E_{élec} = 0{,}36 \times E_{jour}
E_{élec} = 0{,}36 \times 1{,}13 \times 10^{14}
E_{élec} = 4{,}07 \times 10^{13} J
Calcul de la puissance
La relation générale entre puissance électrique d'un appareil et l'énergie consommée s'exprime :
E=P\times \Delta t
Avec :
- P, la puissance électrique de l'appareil en watts (W)
- E, l'énergie consommée ou produite en joules (J)
- \Delta t, la durée de fonctionnement de l'appareil en secondes (s)
En la réarrangeant pour obtenir la puissance, cela donne :
P= \dfrac{E}{\Delta t}
Ici, on considère une durée d'une journée, soit 24\times 3\ 600 = 86\ 400 s.
En faisant alors l'application numérique, on obtient :
P= \dfrac{ 4{,}07 \times 10^{13}}{86\ 400}
P= 4{,}71 \times 10^{8} W
La puissance P du réacteur est de 0,471 GW.