Terminale L 2016-2017
Kartable
Terminale L 2016-2017

La continuité

I

La continuité sur un intervalle

Fonction continue

Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.

La fonction dont la courbe est représentée ci-dessous est continue sur [a;b].

-

La fonction dont la courbe est représentée ci-dessous n'est pas continue en 2 (donc elle n'est pas continue sur [0;5] ).

-
  • Les fonctions usuelles (affine, puissance, exponentielle, inverse, racine, logarithme) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
  • Toute fonction construite comme somme, produit ou quotient de fonctions continues sur un intervalle I est continue sur I. Dans le cas d'un quotient, la fonction par laquelle on divise ne doit pas s'annuler sur I.

Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. La réciproque est fausse.

II

Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.

Graphiquement, la courbe représentative de f coupe au moins une fois la droite d'équation y=k sur [a;b].

La fonction f représentée ci-dessous est continue sur [0;5].

  • f(0)=0
  • f(5)=4,8

L'équation f(x)=3 admet donc au moins une solution sur [0;5]. Graphiquement, on remarque en effet que la courbe coupe au moins une fois la droite d'équation y=k.

-

Cas particulier pour k=0 :

Si f est continue sur [a;b] et si f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois entre a et b.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue et strictement monotone sur [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.

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