Terminale L 2015-2016

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La continuité

I

La continuité sur un intervalle

Fonction continue

Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.

La fonction dont la courbe est représentée ci-dessous est continue sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\).

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La fonction dont la courbe est représentée ci-dessous n'est pas continue en 2 (donc elle n'est pas continue sur \(\displaystyle{\left[ 0;5 \right]}\) ).

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  • Les fonctions usuelles (affine, puissance, exponentielle, inverse, racine, logarithme) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
  • Toute fonction construite comme somme, produit ou quotient de fonctions continues sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) est continue sur \(\displaystyle{I}\). Dans le cas d'un quotient, la fonction par laquelle on divise ne doit pas s'annuler sur I.

Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. La réciproque est fausse.

II

Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle. Pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).

Graphiquement, la courbe représentative de f coupe au moins une fois la droite d'équation \(\displaystyle{y= k}\) sur \(\displaystyle{\left[ a;b\right]}\).

La fonction f représentée ci-dessous est continue sur \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\).

  • \(\displaystyle{f\left(0\right)=0}\)
  • \(\displaystyle{f\left(5\right)=4,8}\)

L'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 3}\) admet donc au moins une solution sur \(\displaystyle{\left[0 ; 5\right]}\). Graphiquement, on remarque en effet que la courbe coupe au moins une fois la droite d'équation \(\displaystyle{y = k}\).

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Cas particulier pour \(\displaystyle{k=0}\) :

Si f est continue sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) et si \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\) sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois entre a et b.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue et strictement monotone sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors pour tout réel k compris entre \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que \(\displaystyle{f\left(c\right) = k}\).