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L'homothétie

I

Définition

Homothétie

On considère un point O du plan et un nombre \(\displaystyle{k\neq0}\). On appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation du plan qui, à chaque point M, associe le point M' tel que :

  • O, M et M' sont alignés.
  • Si \(\displaystyle{k\gt0}\), M et M' sont du même côté du point O et \(\displaystyle{OM'=k\times OM}\)
  • Si \(\displaystyle{k\lt0}\), M et M' sont de part et d'autre du point O et \(\displaystyle{OM'=-k\times OM}\)
-

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport \(\displaystyle{k=0,5}\).

-

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport \(\displaystyle{k=-0,5}\).

  • Une homothétie de rapport 1 donne des figures images superposées avec les figures initiales.
  • Une homothétie de rapport −1 est une symétrie centrale.
II

Lien avec le parallélisme

Soient A et B deux points du plan. Soient A' et B' leurs images par une homothétie. Alors \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) et \(\displaystyle{\left(A'B'\right)}\) sont parallèles.

-

Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport \(\displaystyle{k=0,5}\). On a :

  • \(\displaystyle{\left(AB\right)//\left(A'B'\right)}\)
  • \(\displaystyle{\left(AC\right)//\left(A'C'\right)}\)
  • \(\displaystyle{\left(BC\right)//\left(B'C'\right)}\)
III

Propriétés

  • L'homothétie conserve l'alignement et les mesures d'angles.
  • Une homothétie transforme un triangle en un triangle semblable au premier.
-

En reprenant le cas d'homothétie ci-dessus, on a :

  • Les angles conservés, en particulier : \(\displaystyle{\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}}\).
  • Les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.

Par une homothétie de rapport \(\displaystyle{k\gt0}\), les longueurs sont multipliées par k et les aires par \(\displaystyle{k^2}\).

-

Le rectangle A'B'C'D' est l'image du rectangle ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport \(\displaystyle{k=3}\).

  • \(\displaystyle{AB=2}\), donc \(\displaystyle{A'B'=3\times AB=6}\) cm
  • \(\displaystyle{Aire_{ABCD}=2}\) cm2, donc \(\displaystyle{Aire_{A'B'C'D'}=3^2Aire_{ABCD}=9\times2=18}\) cm2

Si le rapport de l'homothétie est \(\displaystyle{k\lt0}\), alors les longueurs sont multipliées par \(\displaystyle{\left(-k\right)}\) et les aires par k2.

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