Troisième 2016-2017
Kartable
Troisième 2016-2017
I

Définition

Homothétie

On considère un point O du plan et un nombre k0. On appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation du plan qui, à chaque point M, associe le point M' tel que :

  • O, M et M' sont alignés.
  • Si k>0, M et M' sont du même côté du point O et OM=k×OM
  • Si k<0, M et M' sont de part et d'autre du point O et OM=k×OM
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Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k=0,5.

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Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k=0,5.

  • Une homothétie de rapport 1 donne des figures images superposées avec les figures initiales.
  • Une homothétie de rapport −1 est une symétrie centrale.
II

Lien avec le parallélisme

Soient A et B deux points du plan. Soient A' et B' leurs images par une homothétie. Alors (AB) et (AB) sont parallèles.

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Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k=0,5. On a :

  • (AB)//(AB)
  • (AC)//(AC)
  • (BC)//(BC)
III

Propriétés

  • L'homothétie conserve l'alignement et les mesures d'angles.
  • Une homothétie transforme un triangle en un triangle semblable au premier.
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En reprenant le cas d'homothétie ci-dessus, on a :

  • Les angles conservés, en particulier : ABCˆ=ABCˆ.
  • Les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.

Pour une homothétie de rapport k>0, les longueurs sont multipliées par k et les aires par k2.

-

Le rectangle A'B'C'D' est l'image du rectangle ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport k=3.

  • AB=2, donc AB=3×AB=6 cm
  • AireABCD=2 cm2, donc AireABCD=33AireABCD=9×2=18 cm2

Si le rapport de l'homothétie est k<0, alors les longueurs sont multipliées par (k) et les aires par k2.

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