Troisième 2016-2017
Kartable
Troisième 2016-2017

La trigonométrie dans le triangle rectangle

On considère un triangle ABC rectangle en A :

  • Le côté [AC] est appelé côté adjacent à l'angle ACBˆ.
  • Le côté [AB] est appelé côté opposé à l'angle ACBˆ.
  • Le côté [BC] est appelé l'hypoténuse du triangle ABC.
-
I

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

A

Cosinus

Cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à :

cos(α)=côté adjacenthypoténuse

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • cos(ABCˆ)=ABBC=610=35
  • cos(ACBˆ)=ACBC=810=45

Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur d'un des cotés du triangle.

  • Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
  • Le cosinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.
B

Sinus

Sinus

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal à :

sin(α)=côté opposéhypoténuse

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • sin(ABCˆ)=ACBC=810=45
  • sin(ACBˆ)=ABBC=610=35

Le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur d'un des cotés du triangle.

  • Le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
  • Le sinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.
C

Tangente

Tangente

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égale à :

tan(α)=côté opposécôté adjacent

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • tan(ABCˆ)=ACAB=86=43
  • tan(ACBˆ)=ABAC=68=34

La tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur d'un des cotés du triangle.

  • La tangente d'un angle aigu est toujours supérieure à 0, mais pas nécessairement inférieure à 1 comme le sinus et le cosinus.
  • La tangente d'un angle aigu n'a pas d'unité.
D

Déterminer la mesure en degrés d'un angle

Connaissant le cosinus, le sinus, ou la tangente d'un angle aigu, on peut retrouver la valeur de cet angle à l'aide des fonctions cos1, sin1 et tan1 de la calculatrice.

Veiller à ce que la calculatrice soit réglée en degrés.

II

Relations trigonométriques

Pour tout angle aigu α, on a :

(cos(α))2+(sin(α))2=1

On considère un angle α tel que cos(α)=34. On peut alors écrire :

cos2(α)+sin2(α)=1

Soit :

sin2(α)=1cos2(α)

sin2(α)=1(34)2=1916=716

Pour simplifier les notations, on peut noter cos2(α) à la place de (cos(α))2, et sin2(α) à la place de (sin(α))2.

Pour tout angle aigu α non droit :

tan(α)=sin(α)cos(α)

On considère un angle α tel que :

  • cos(α)=32
  • sin(α)=12

On a :

tan(α)=1232=12×23=13=33

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