Troisième 2016-2017

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La trigonométrie dans le triangle rectangle

On considère un triangle ABC rectangle en A :

  • Le côté \(\displaystyle{\left[ AC \right]}\) est appelé côté adjacent à l'angle \(\displaystyle{\widehat{ACB}}\).
  • Le côté \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\) est appelé côté opposé à l'angle \(\displaystyle{\widehat{ACB}}\).
  • Le côté \(\displaystyle{\left[ BC \right]}\) est appelé l'hypoténuse du triangle ABC.
-
I

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu

A

Cosinus

Cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à :

\(\displaystyle{\cos\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}}\)

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • \(\displaystyle{\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}}\)
  • \(\displaystyle{\cos\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}}\)

Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur d'un des cotés du triangle.

  • Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
  • Le cosinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.
B

Sinus

Sinus

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal à :

\(\displaystyle{\sin\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}}\)

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • \(\displaystyle{\sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}}\)
  • \(\displaystyle{\sin\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}}\)

Le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur d'un des cotés du triangle.

  • Le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
  • Le sinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.
C

Tangente

Tangente

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égale à :

\(\displaystyle{\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}}\)

-
-

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :

  • \(\displaystyle{\tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}}\)
  • \(\displaystyle{\tan\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}}\)

La tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur d'un des cotés du triangle.

  • La tangente d'un angle aigu est toujours supérieure à 0, mais pas nécessairement inférieure à 1 comme le sinus et le cosinus.
  • La tangente d'un angle aigu n'a pas d'unité.
D

Déterminer la mesure en degrés d'un angle

Connaissant le cosinus, le sinus, ou la tangente d'un angle aigu, on peut retrouver la valeur de cet angle à l'aide des fonctions \(\displaystyle{cos^{-1}}\), \(\displaystyle{sin^{-1}}\) et \(\displaystyle{tan^{-1}}\) de la calculatrice.

Veiller à ce que la calculatrice soit réglée en degrés.

II

Relations trigonométriques

Pour tout angle aigu \(\displaystyle{\alpha}\), on a :

\(\displaystyle{\left(\cos\left(\alpha\right)\right)^2+\left(\sin\left(\alpha\right)\right)^2=1}\)

On considère un angle \(\displaystyle{\alpha}\) tel que \(\displaystyle{\cos\left(\alpha\right)=\dfrac{3}{4}}\). On peut alors écrire :

\(\displaystyle{cos^2\left(\alpha\right)+sin^2\left(\alpha\right)=1}\)

Soit :

\(\displaystyle{sin^2\left(\alpha\right)=1-cos^2\left(\alpha\right)}\)

\(\displaystyle{sin^2\left(\alpha\right)=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16}}\)

Pour simplifier les notations, on peut noter \(\displaystyle{cos^2\left(\alpha\right)}\) à la place de \(\displaystyle{\left(\cos\left(\alpha\right)\right)^2}\), et \(\displaystyle{sin^2\left(\alpha\right)}\) à la place de \(\displaystyle{\left(\sin\left(\alpha\right)\right)^2}\).

Pour tout angle aigu \(\displaystyle{\alpha}\) non droit :

\(\displaystyle{\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha\right)}{\cos\left(\alpha\right)}}\)

On considère un angle \(\displaystyle{\alpha}\) tel que :

  • \(\displaystyle{\cos\left(\alpha\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\)
  • \(\displaystyle{\sin\left(\alpha\right)=\dfrac{1}{2}}\)

On a :

\(\displaystyle{\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}={\dfrac{1}{2}}\times{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}\)