Première ES 2015-2016

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Loi binomiale et fluctuations d'échantillonnage

Loi binomiale

Soit un réel \(\displaystyle{p}\) compris entre 0 et 1 et \(\displaystyle{n}\) un entier naturel non nul.
Si une variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{p}\), notée \(\displaystyle{B\left(n ; p\right)}\), alors :

  • \(\displaystyle{X\left(\Omega\right) = [\![0 ; n]\!]}\)
  • \(\displaystyle{\forall k \in [\![0 ; n]\!] \text{ , } P\left(X = k\right) =\binom{n}{k}p^{k} \left(1 - p\right)^{n-k}}\)

Coefficient binomial

Soient un ensemble \(\displaystyle{E}\) de cardinal \(\displaystyle{n}\) (\(\displaystyle{\in \mathbb{N}^{*}}\)) et \(\displaystyle{k}\) un entier naturel inférieur ou égal à \(\displaystyle{n}\).
Le nombre de parties de \(\displaystyle{E}\) possédant \(\displaystyle{k}\) éléments, est égal au coefficient binomial noté :

\(\displaystyle{\binom{n}{k}}\)

Espérance d'une loi binomiale

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n}\) et \(\displaystyle{p}\), on a :

\(\displaystyle{E\left(X\right) = np}\)

Intervalle de fluctuation

L'intervalle de fluctuation au coefficient 95 % de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille \(\displaystyle{n}\), d'une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) suivant une loi binomiale, est \(\displaystyle{\left[ \dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n} \right]}\), où \(\displaystyle{a}\) est le plus petit entier tel que \(\displaystyle{P\left(X\leq a\right)\gt0,025}\), et \(\displaystyle{b}\) le plus petit entier tel que \(\displaystyle{P\left(X\leq b\right) \geq0,975}\).