Déterminer si un échantillon est représentatif d'une population Méthode

Sommaire

1Calculer l'intervalle de fluctuation 2Calculer la fréquence dans l'échantillon 3Conclure

Afin de déterminer si un échantillon est représentatif d'une population, on calcule l'intervalle I de fluctuation au seuil de 95% ainsi que la fréquence f dans l'échantillon. Si f \in I, alors l'échantillon est représentatif de la population.

Un candidat A à une élection affirme que 52% des électeurs vont voter pour lui. Pour contrôler cette affirmation, on interroge 200 électeurs au hasard. Parmi eux, 88 vont voter pour le candidat A.

Si le candidat A a raison, l'échantillon est-il représentatif de la population ?

Etape 1

Calculer l'intervalle de fluctuation

On justifie que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on détermine les paramètres n et p.

À l'aide de la calculatrice, on détermine ensuite les valeurs a et b, avec a est le plus petit entier tel que p\left(X \leq a\right) \gt 0,025 et b le plus petit entier tel que p\left(X \leq b\right) \geq 0,975.

On en déduit l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est I=\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right].

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre d'électeurs votant pour le candidat A, dans un échantillon aléatoire d'électeurs de taille n=200. On assimile ce tirage à un tirage avec remise. Donc X suit une loi binomiale de paramètres n=200 et p=0,52.

À l'aide de la calculatrice, on détermine que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des électeurs votant pour le candidat A dans un échantillon de taille 200 est : I=\left[ 0,45 ; 0,59\right].

Etape 2

Calculer la fréquence dans l'échantillon

On calcule la fréquence dans l'échantillon.

Dans l'échantillon, 88 électeurs sur 200 vont voter pour le candidat A. On en déduit que :

f= \dfrac{88}{200} = 0,44

Etape 3

Conclure

Deux cas sont possibles :

  • Si f \in I, alors l'échantillon est représentatif de la population.
  • Si f \notin I, alors l'échantillon n'est pas représentatif de la population.

On a f= 0,44 et I=\left[ 0,45 ; 0,59\right].

Donc f \notin I.

On en conclut que l'échantillon n'est pas représentatif de la population.