Sommaire
1Identifier un schéma de Bernoulli 2Expliquer la répétition de l'expérience 3Enoncer le rôle de X 4Conclure sur la loi de X et ses paramètres Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 31/08/2020 - Conforme au programme 2024-2025
Une variable aléatoire X suit une loi binomiale lorsqu'elle dénombre les succès dans une suite d'expériences de Bernoulli répétées de manière indépendante.
Afin de démontrer qu'une variable aléatoire X suit une loi binomiale, il convient de respecter scrupuleusement les étapes de la rédaction suivante.
0{,}2\% des pièces fabriquées dans une usine sont défectueuses. On prélève un échantillon de 100 pièces (le nombre de pièces étant suffisamment grands pour considérer les tirages indépendants).
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Identifier un schéma de Bernoulli
On identifie une expérience à deux issues possibles :
- Le succès, obtenu avec une probabilité p que l'on détermine.
- L'échec, obtenu avec la probabilité q = 1 -p.
L'expérience "prélever une pièce" a deux issues possibles :
- Succès (la machine est défectueuse) obtenu avec la probabilité p = 0{,}002.
- Echec (la machine n'est pas défectueuse) obtenu avec la probabilité q= 1-p = 0{,}998.
Nous sommes donc en présence d'un schéma de Bernoulli.
Expliquer la répétition de l'expérience
On justifie que l'expérience est répétée n fois, de manière indépendante.
On répète cette expérience 100 fois de manière indépendante (les tirages sont supposés indépendants d'après l'énoncé).
Enoncer le rôle de X
On précise que X est la variable aléatoire qui dénombre les succès lors de la répétition de l'expérience de Bernoulli.
X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.
Conclure sur la loi de X et ses paramètres
On conclut que X suit alors une loi binomiale de paramètres n et p.
Donc X suit une loi binomiale de paramètres n=100 et p = 0{,}002.
Lorsque X suit une loi binomiale de paramètres n et p, on sait que :
- X\left(\Omega\right) = \left\{ 0 ; 1 ; ... ; n \right\}
- pour tout k de X\left(\Omega\right), p\left(X=k\right) = \dbinom{n}{k}p^k q^{n-k}
- E\left(X\right) = np
- V\left(X\right) = np\left(1-p\right)