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  4. Méthode : Reconnaître une loi binomiale

Reconnaître une loi binomiale Méthode

Sommaire

1Identifier un schéma de Bernoulli 2Expliquer la répétition de l'expérience 3Enoncer le rôle de X 4Conclure sur la loi de X et ses paramètres

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale lorsqu'elle dénombre les succès dans une suite d'expériences de Bernoulli répétées de manière indépendante.

Afin de démontrer qu'une variable aléatoire X suit une loi binomiale, il convient de respecter scrupuleusement les étapes de la rédaction suivante.

0{,}2\% des pièces fabriquées dans une usine sont défectueuses. On prélève un échantillon de 100 pièces (le nombre de pièces étant suffisamment grands pour considérer les tirages indépendants).

On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Etape 1

Identifier un schéma de Bernoulli

On identifie une expérience à deux issues possibles :

  • Le succès, obtenu avec une probabilité p que l'on détermine.
  • L'échec, obtenu avec la probabilité q = 1 -p.

L'expérience "prélever une pièce" a deux issues possibles :

  • Succès (la machine est défectueuse) obtenu avec la probabilité p = 0{,}002.
  • Echec (la machine n'est pas défectueuse) obtenu avec la probabilité q= 1-p = 0{,}998.

Nous sommes donc en présence d'un schéma de Bernoulli.

Etape 2

Expliquer la répétition de l'expérience

On justifie que l'expérience est répétée n fois, de manière indépendante.

On répète cette expérience 100 fois de manière indépendante (les tirages sont supposés indépendants d'après l'énoncé).

Etape 3

Enoncer le rôle de X

On précise que X est la variable aléatoire qui dénombre les succès lors de la répétition de l'expérience de Bernoulli.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

Etape 4

Conclure sur la loi de X et ses paramètres

On conclut que X suit alors une loi binomiale de paramètres n et p.

Donc X suit une loi binomiale de paramètres n=100 et p = 0{,}002.

Lorsque X suit une loi binomiale de paramètres n et p, on sait que :

  • X\left(\Omega\right) = \left\{ 0 ; 1 ; ... ; n \right\}
  • pour tout k de X\left(\Omega\right), p\left(X=k\right) = \dbinom{n}{k}p^k q^{n-k}
  • E\left(X\right) = np
  • V\left(X\right) = np\left(1-p\right)
Voir aussi
  • Cours : La loi binomiale
  • Quiz : La loi binomiale
  • Exercice : Modéliser une situation par une succession d’épreuves indépendantes
  • Exercice : Représenter une situation modélisable en succession d’épreuves indépendantes par un arbre
  • Exercice : Modéliser une situation par une succession de deux ou trois épreuves quelconques
  • Exercice : Représenter une situation modélisable en succession de deux ou trois épreuves quelconques par un arbre
  • Exercice : Calculer une probabilité en utilisant l’indépendance
  • Exercice : Calculer une probabilité en utilisant des probabilités conditionnelles
  • Exercice : Calculer une probabilité en utilisant la formule des probabilités totales
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une épreuve de Bernoulli
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'un schéma de Bernoulli
  • Exercice : Déterminer si une situation est une épreuve de Bernoulli
  • Exercice : Déterminer si une situation suit un schéma de Bernoulli
  • Exercice : Déterminer le schéma de Bernoulli d'une situation
  • Exercice : Connaître les caractéristiques de la loi binomiale
  • Exercice : Déterminer le loi binomiale correspondant à une situation
  • Exercice : Calculer numériquement une probabilité du type P(X = k) d'une loi binomiale
  • Exercice : Calculer numériquement une probabilité du type P(X ≤ k) d'une loi binomiale
  • Exercice : Calculer numériquement une probabilité du type P(k ≤ X ≤ k’ ) d'une loi binomiale
  • Exercice : Déterminer un intervalle sur lequel P(X) est inférieure à une valeur donnée pour une loi binomiale
  • Exercice : Déterminer un intervalle sur lequel P(X) est supérieure à une valeur donnée pour une loi binomiale
  • Exercice : Démontrer l'expression de la probabilité de k succès dans le schéma de Bernoulli
  • Problème : Résoudre un problème de seuil à l'aide de l'expression de la loi binomiale
  • Problème : Résoudre un problème de comparaison à l'aide de l'expression de la loi binomiale
  • Problème : Résoudre un problème d’optimisation relatif à des probabilités de nombre de succès à l'aide de l'expression de la loi binomiale
  • Problème : Simuler la planche de Galton à l'aide d'un algorithme
  • Problème : Etudier un problème de la surréservation à l'aide d'un algorithme
  • Problème : Simuler un échantillon d’une variable aléatoire à l'aide d'un algorithme
  • Méthode : Calculer et interpréter E(X) dans une loi binomiale
  • Méthode : Montrer qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale
  • Méthode : Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale

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