Déterminer un intervalle de fluctuationMéthode

Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale, il est possible de déterminer un intervalle de fluctuation de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon n, de X.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de "Pile" obtenus lorsqu'on lance une pièce équilibrée 80 fois de suite.

Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence du nombre de piles sur 80 lancers.

Etape 1

Identifier le caractère et sa fréquence p

On identifie le caractère donné dans l'énoncé ainsi que sa fréquence.

On s'intéresse à la proportion de "Pile" lors du lancer d'une pièce de monnaie. Sa probabilité est p=\dfrac{1}{2}.

Etape 2

Préciser que les tirages sont effectués avec remise

On justifie que les tirages peuvent être assimilés à des tirages avec remise.

Les lancers sont indépendants, donc les tirages peuvent être assimilés à des tirages avec remise.

Etape 3

Conclure sur la loi binomiale

On en déduit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précise les paramètres n et p.

Or, X dénombre les "Pile" dans la série de 80 lancers indépendants. On en déduit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n =80 et p = 0{,}5.

Etape 4

Réciter le cours

On rappelle que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, est :

I=\left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right]

Avec a et b les plus petits entiers tels que p\left(X\leq a\right)\gt 0{,}025 et p\left(X\leq b\right)\geq 0{,}975.

D'après le cours, l'intervalle de fluctuation au coefficient 95\% de la fréquence est \left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right], avec a et b les plus petits entiers tels que p\left(X\leq a\right)\gt 0{,}025 et p\left(X\leq b\right)\geq 0{,}975.

Etape 5

Déterminer a et b à l'aide de la calculatrice

À l'aide de la calculatrice, on dresse la table des valeurs des p\left(X \leq k\right).

Dans cette table, a est le plus petit entier tel que p\left(X \leq a\right) \gt 0{,}025 et b le plus petit entier tel que p\left(X \leq b\right) \geq 0{,}975.

Il arrive parfois que la table soit donnée en énoncé.

À l'aide de la calculatrice, on détermine que :

  • p\left(X \leq 30\right) \approx 0{,}016 et p\left(X \leq 31\right) \approx 0{,}028 donc a = 31
  • p\left(X \leq 48\right) \approx 0{,}972 et p\left(X \leq 49\right) \approx 0{,}984 donc b= 49
Etape 6

Conclure sur l'intervalle de fluctuation

On conclut en donnant l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence du succès : \left[ \dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right].

On en déduit que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence du succès est donc \left[ \dfrac{31}{80} ; \dfrac{49}{80}\right].

Questions fréquentes

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