Quatrième 2016-2017
Kartable
Quatrième 2016-2017

Les équations

I

Les équations du premier degré à une inconnue

Équation

Une équation est une égalité contenant au moins un nombre inconnu, le plus souvent représenté par une lettre.

L'égalité suivante est une équation d'inconnue x :

14x9=8+21x

Solution d'une équation

Un nombre est solution d'une équation si, lorsque l'on remplace l'inconnue par ce nombre, l'égalité est vérifiée.

Considérons l'équation : 11x=3x+23.

2 est-il solution de cette équation ? Non, car : 11293×2+2329.

−3 est-il solution de cette équation ? Oui, car : 11(3)14=3×(3)+2314.

II

Tests d'égalité

Pour tester si un nombre est solution d'une équation d'inconnue x :

  • On calcule le membre de gauche en remplaçant x par cette valeur.
  • On calcule le membre de droite en remplaçant x par cette valeur.
  • On observe si les deux membres sont égaux ou non et on conclut.

Testons si le nombre 5 est solution de l'équation 3x1=7x.

On calcule l'expression du membre de gauche en remplaçant x par 5 :

3×51=151=14

On calcule l'expression du membre de droite en remplaçant x par 5 :

75=2

142, donc 5 n'est pas solution de l'équation.

III

Résoudre une équation

Résoudre une équation revient à déterminer toutes ses solutions.

L'équation x+8=12 a pour unique solution 4.

L'équation 0x=12 n'a pas de solution.

Équation du premier degré

On appelle équation du premier degré à une inconnue, x, toute équation qui peut se ramener (quitte à développer et réduire) à une équation du type :

ax+b=cx+d

Avec a0 ou c0.

Si a0, l'équation ax=b admet une solution :

x=ba

L'équation 5x=20 admet pour unique solution :

x=205=4

  • Une égalité reste vraie quand on multiplie (ou on divise) par un même nombre non nul les deux membres de l'égalité.
  • Une égalité reste vraie quand on ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres de l'égalité.

On utilise ces deux règles pour résoudre les équations du premier degré à une inconnue.

On cherche à résoudre l'équation suivante :

(E):3x1=7x

On utilise les deux propriétés précédentes :

3x1+x=7x+x

4x1=7

4x1+1=7+1

4x=8

44x=84

x=2

Avant de conclure, on effectue une vérification :

  • Pour x=2 : 3x1=3×21=61=5
  • Pour x=2 : 7x=72=5

On en conclut que l'équation (E) admet une unique solution, le nombre 2.

Les équations du premier degré à une inconnue ont soit 0, soit 1, soit une infinité de solutions.

L'équation 2x+3=2x+1 n'admet aucune solution.

L'équation 2x+3=x1 admet une unique solution.

L'équation 2x+3=2x+3 a une infinité de solutions : elle est vérifiée pour n'importe quelle valeur de x.

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