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Dernière modification : 02/03/2021 - Conforme au programme 2020-2021
Les équations du premier degré à une inconnue
Équation
Une équation est une égalité contenant au moins un nombre inconnu, le plus souvent représenté par une lettre.
L'égalité suivante est une équation d'inconnue x :
14x-9=8+21x
Solution d'une équation
Un nombre est solution d'une équation si, lorsque l'on remplace l'inconnue par ce nombre, l'égalité est vérifiée.
Considérons l'équation : 11 - x = 3x + 23.
2 est-il solution de cette équation ? Non, car : \underbrace{11 - 2}_{9} \neq \underbrace{3 \times 2 + 23}_{29}.
-3 est-il solution de cette équation ? Oui, car : \underbrace{11 - \left(-3\right)}_{14} = \underbrace{3 \times \left(-3\right) + 23}_{14}.
Tests d'égalité
Pour tester si un nombre est solution d'une équation d'inconnue x :
- On calcule le membre de gauche en remplaçant x par cette valeur.
- On calcule le membre de droite en remplaçant x par cette valeur.
- On observe si les deux membres sont égaux ou non et on conclut.
Testons si le nombre 5 est solution de l'équation 3x-1=7-x.
On calcule l'expression du membre de gauche en remplaçant x par 5 :
3\times5-1=15-1=14
On calcule l'expression du membre de droite en remplaçant x par 5 :
7-5=2
14\neq2, donc 5 n'est pas solution de l'équation.
Résoudre une équation
Résoudre une équation revient à déterminer toutes ses solutions.
L'équation x + 8 = 12 a pour unique solution 4.
L'équation 0x=12 n'a pas de solution.
Équation du premier degré
On appelle équation du premier degré à une inconnue, x, toute équation qui peut se ramener (quitte à développer et réduire) à une équation du type :
ax+b=cx+d
Avec a\neq0 ou c\neq0.
Si a \neq 0, l'équation ax = b admet une solution :
x = \dfrac{b}{a}
L'équation 5x = 20 admet pour unique solution :
x = \dfrac{20}{5} = 4
- Une égalité reste vraie quand on multiplie (ou on divise) par un même nombre non nul les deux membres de l'égalité.
- Une égalité reste vraie quand on ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres de l'égalité.
On utilise ces deux règles pour résoudre les équations du premier degré à une inconnue.
On cherche à résoudre l'équation suivante :
\left(E\right):3x-1=7-x
On utilise les deux propriétés précédentes :
3x-1\textcolor{Red}{+x}=7-x\textcolor{Red}{+x}
4x-1=7
4x-1\textcolor{Red}{+1}=7\textcolor{Red}{+1}
4x=8
\dfrac{4}{\textcolor{Red}{4}}x=\dfrac{8}{\textcolor{Red}{4}}
x=2
Avant de conclure, on effectue une vérification :
- Pour x=2 : 3x-1=3\times2-1=6-1=5
- Pour x=2 : 7-x=7-2=5
On en conclut que l'équation \left(E\right) admet une unique solution, le nombre 2.
Les équations du premier degré à une inconnue ont soit 0, soit 1, soit une infinité de solutions.
L'équation 2x + 3 = 2x + 1 n'admet aucune solution.
L'équation 2x + 3 = x - 1 admet une unique solution.
L'équation 2x + 3 = 2x + 3 a une infinité de solutions : elle est vérifiée pour n'importe quelle valeur de x.