Les équationsCours

I

Les équations du premier degré à une inconnue

Équation

Une équation est une égalité contenant au moins un nombre inconnu, le plus souvent représenté par une lettre.

L'égalité suivante est une équation d'inconnue x :

14x-9=8+21x

Solution d'une équation

Un nombre est solution d'une équation si, lorsque l'on remplace l'inconnue par ce nombre, l'égalité est vérifiée.

Considérons l'équation : 11 - x = 3x + 23.

2 est-il solution de cette équation ? Non, car : \underbrace{11 - 2}_{9} \neq \underbrace{3 \times 2 + 23}_{29}.

−3 est-il solution de cette équation ? Oui, car : \underbrace{11 - \left(-3\right)}_{14} = \underbrace{3 \times \left(-3\right) + 23}_{14}.

II

Tests d'égalité

Pour tester si un nombre est solution d'une équation d'inconnue x :

  • On calcule le membre de gauche en remplaçant x par cette valeur.
  • On calcule le membre de droite en remplaçant x par cette valeur.
  • On observe si les deux membres sont égaux ou non et on conclut.

Testons si le nombre 5 est solution de l'équation 3x-1=7-x.

On calcule l'expression du membre de gauche en remplaçant x par 5 :

3\times5-1=15-1=14

On calcule l'expression du membre de droite en remplaçant x par 5 :

7-5=2

14\neq2, donc 5 n'est pas solution de l'équation.

III

Résoudre une équation

Résoudre une équation revient à déterminer toutes ses solutions.

L'équation x + 8 = 12 a pour unique solution 4.

L'équation 0x=12 n'a pas de solution.

Équation du premier degré

On appelle équation du premier degré à une inconnue, x, toute équation qui peut se ramener (quitte à développer et réduire) à une équation du type :

ax+b=cx+d

Avec a\neq0 ou c\neq0.

Si a \neq 0, l'équation ax = b admet une solution :

x = \dfrac{b}{a}

L'équation 5x = 20 admet pour unique solution :

x = \dfrac{20}{5} = 4

  • Une égalité reste vraie quand on multiplie (ou on divise) par un même nombre non nul les deux membres de l'égalité.
  • Une égalité reste vraie quand on ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres de l'égalité.

On utilise ces deux règles pour résoudre les équations du premier degré à une inconnue.

On cherche à résoudre l'équation suivante :

\left(E\right):3x-1=7-x

On utilise les deux propriétés précédentes :

3x-1\textcolor{Red}{+x}=7-x\textcolor{Red}{+x}

4x-1=7

4x-1\textcolor{Red}{+1}=7\textcolor{Red}{+1}

4x=8

\dfrac{4}{\textcolor{Red}{4}}x=\dfrac{8}{\textcolor{Red}{4}}

x=2

Avant de conclure, on effectue une vérification :

  • Pour x=2 : 3x-1=3\times2-1=6-1=5
  • Pour x=2 : 7-x=7-2=5

On en conclut que l'équation \left(E\right) admet une unique solution, le nombre 2.

Les équations du premier degré à une inconnue ont soit 0, soit 1, soit une infinité de solutions.

L'équation 2x + 3 = 2x + 1 n'admet aucune solution.

L'équation 2x + 3 = x - 1 admet une unique solution.

L'équation 2x + 3 = 2x + 3 a une infinité de solutions : elle est vérifiée pour n'importe quelle valeur de x.