La musique ou l’art de faire entendre les nombresCours

I

La consonance des sons

L'étude de l'intervalle entre deux sons, c'est-à-dire du rapport de leurs fréquences, permet de déterminer s'ils produiront une sensation d'harmonie. Si c'est le cas, ils seront alors consonants. On peut définir des intervalles entre deux mêmes notes à des hauteurs différentes comme l'octave, ou des intervalles entre des notes différentes comme la quinte.

Lorsqu'ils sont séparés par certains intervalles, c'est-à-dire que le rapport de leur fréquence vaut une certaine valeur, des sons entendus successivement ou simultanément peuvent provoquer une sensation agréable, d'harmonie. On dit alors qu'ils sont consonants.

Intervalle

En musique, un intervalle entre deux sons est défini par le rapport (et non la différence) de leurs fréquences. 

Si la fréquence d'un son 2 est le double de celle d'un son 1, les deux sons sont consonants et l'intervalle qui les sépare est \dfrac{2}{1}.

Parmi tous les sons, certains ont été définis en tant que « notes de musique ». On les caractérise alors par leur fréquence.

Dans l'énumération des notes domifasollasido, on appelle « octave » l'intervalle qui sépare le premier et le deuxième do.

Octave

Deux sons dont les fréquences sont dans le rapport \dfrac{2}{1} correspondent à une même note, à deux hauteurs différentes. L'intervalle qui les sépare s'appelle une octave.

\dfrac{F_{\text{octave}}}{F_{\text{note initiale}}} = \dfrac{2}{1}

La fréquence correspondant au la3 est 440 Hz. Lorsque l'on entend un son de fréquence 880 Hz, on reconnaît qu'il s'agit de la même note mais plus aiguë, il s'agit toujours d'un la mais à une octave supérieure, le la4. Les fréquences de ces sons sont bien dans un rapport \dfrac{2}{1} :

\dfrac{F_{la_4}}{F_{la_3}} = \dfrac{880}{440} = \dfrac{2}{1}

L'indice qui suit parfois le nom d'une note précise son octave.

On distingue les la1, la2, la3 et la4, etc., ces notes étant séparées par une octave.

En musique, il existe certains intervalles spécifiques comme la quinte, la quarte, etc.

Quinte

Une quinte est l'intervalle qui sépare deux notes dont les fréquences sont dans le rapport \dfrac{3}{2} :

\dfrac{F_{\text{quinte}}}{F_{\text{note initiale}}} = \dfrac{3}{2}

Une note initiale et sa quinte sont séparées par cinq notes consécutives.

La quinte de do est le sol, car ces deux notes sont séparées par cinq notes consécutives (elles comprises) :

-

Sachant que la fréquence correspondant au do2 est 130 Hz, on peut calculer celle de sa quinte, le sol2 :
F_{sol_2} = \dfrac{3}{2} \times F_{do_2}
F_{sol_2} = \dfrac{3}{2} \times 130
F_{sol_2} = 195\text{ Hz}

II

Les gammes

La notion d'octave permet de définir une gamme de notes, à savoir une suite finie de notes réparties sur une octave. En se basant sur le cycle des quintes et en étudiant une corde tendue qu'il faisait vibrer, Pythagore a réussi le premier à construire une gamme. Mais bien qu'étant perçues comme harmonieuses, les gammes de Pythagore présentent deux défauts majeurs : elles compliquent la transposition des œuvres musicales et ne se « rebouclent » pas parfaitement. On parle alors du phénomène de la quinte du loup. Pour éviter le problème de la quinte du loup et faciliter l'interprétation musicale, il est nécessaire que l'intervalle entre deux notes séparées par un demi-ton soit constant. C'est le principe de la gamme tempérée qui définit le rapport les séparant : r = \sqrt[12]{2}.

A

La notion de gamme

La notion d'octave permet de définir une gamme de notes, à savoir une suite finie de notes réparties sur une octave.

Gamme

Une gamme est une suite finie de notes réparties sur une octave.

L'énumération domifasollasi − do correspond à la gamme de do.

Dans l'Antiquité, la construction des gammes était basée sur des fractions simples (\dfrac{2}{1}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{4}{3}, etc.). En effet, des sons dont les fréquences sont dans ces rapports simples étaient alors considérés comme les seuls à être consonants.

B

Les gammes de Pythagore

En se basant sur le cycle des quintes et en étudiant une corde tendue qu'il faisait vibrer, Pythagore a réussi à construire une gamme. Mais bien qu'étant perçues comme harmonieuses, les gammes de Pythagore présentent deux défauts majeurs : elles compliquent la transposition des œuvres musicales et ne se « rebouclent » pas parfaitement. On parle alors du phénomène de la quinte du loup.

1

La construction d'une gamme de Pythagore

En se basant sur le cycle des quintes et en étudiant une corde tendue qu'il faisait vibrer, Pythagore a réussi à construire une gamme.

Pythagore (savant grec, 580 av. J-C−495 av. J-C) a étudié les sons émis par une corde tendue qu'il faisait vibrer.

Dispositif utilisé par Pythagore pour étudier le son émis par une corde tendue
Dispositif utilisé par Pythagore pour étudier le son émis par une corde tendue

À partir de ses expériences, Pythagore s'est basé sur le cycle des quintes pour construire ses gammes.

Ses gammes pouvaient être au maximum composées de 12 notes dodo♯ − ♯ – mifafa♯ – solsol♯ – lala♯ − si, séparées par un intervalle appelé « demi-ton ».

Cycle des quintes

Le cycle des quintes est une figure regroupant, à partir d'une note initiale, l'ensemble des quintes successives que l'on peut obtenir, leur intervalle étant \dfrac{3}{2}. Le cycle est terminé lorsqu'on retombe sur la note initiale d'une autre octave.

À partir de la note do2, de fréquence 130 Hz, en multipliant chaque fois par le rapport \dfrac{3}{2}, on obtient le cycle des quintes suivant.

Illustration du cycle des quintes
Illustration du cycle des quintes

Mais ces notes s'étalent sur plusieurs octaves, puisqu'avec comme première note le do1 de fréquence 130 Hz, la première octave s'étend jusqu'au prochain do, le do2, de fréquence 2 \times 130 = 260\text{ Hz}.

Pour construire une gamme sur une seule octave, Pythagore divise donc par deux les fréquences des notes qui sont en dehors et éventuellement plusieurs fois. Ce processus se nomme « la normalisation ».

Pour construire la gamme qui s'étend sur la première octave, il faut diviser par 2 les fréquences des notes qui dépassent les 260 Hz, autant de fois que nécessaire :

-

Par exemple, il faut diviser par 22 la 7e note de la gamme pour obtenir une note entière qui termine la gamme composée de 7 notes. Le si1 est ainsi obtenu en divisant par 4 un si de fréquence 990 Hz.

Ainsi, la gamme correspondant à la première octave est composée des notes suivantes :

Notes

do1

1

mi1

fa1

sol1

la1

si1

Fréquences (Hz)

130

147

165

176

195

220

248

La construction des gammes de Pythagore à partir du cycle des quintes fait que les intervalles entre chaque note sont des rapports de nombre entier :

-

À partir de la note do2, on obtient la note 2 en deux quintes et un abaissement d'octave.

L'intervalle entre ces notes est donc :
\dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{8}  

-
2

Les défauts des gammes de Pythagore

Bien qu'étant perçues comme harmonieuses, les gammes de Pythagore présentent deux défauts majeurs : elles compliquent la transposition des œuvres musicales et ne se « rebouclent » pas parfaitement. On parle alors du phénomène de la quinte du loup.

Transposition

La transposition consiste à décaler toutes les notes d'un même intervalle, ce qui est utile lorsque plusieurs instruments interviennent ensemble ou quand le morceau de musique fait appel à plusieurs gammes.

Dans les gammes de Pythagore, les intervalles entre deux notes consécutives ne sont pas constants, ce qui complique la transposition des œuvres musicales.

Dans la gamme de do2 construite précédemment, l'intervalle entre les notes do2 et 2 est \dfrac{9}{8} alors que celui entre les notes 2 et mi2 est \dfrac{10}{9}.

-

Les gammes de Pythagore ne se « rebouclent » pas : en partant d'un do (ou d'une autre note initiale), on retombe sur un autre do après 12 quintes et ces deux do sont séparés par 7 octaves. Or, les intervalles entre ces deux notes ne sont pas égaux selon qu'on les calcule avec les quintes ou les octaves :

  • un intervalle de 12 quintes correspond à un rapport de (\dfrac{3}{2})^{12}, qui est égal à 129,74 environ ;
  • un intervalle de 7 octaves correspond à un rapport de 27, qui est égal à 128.

 

La note obtenue après les 12 quintes n'est donc pas exactement la 7e octave de la note initiale et ces deux notes ne sont donc pas consonantes.

La sensation désagréable qu'elle fait ressentir, analogue au hurlement d'un loup, lui donne son nom de « quinte du loup ».

L'écart qui sépare la note obtenue après 12 quintes et la 7e octave est appelé « comma ».

En partant d'un do, il faut 12 quintes pour arriver sur un autre do, qui est la quinte de fa. Mais il existe un comma entre ce do et la 7e octave du do initial (notée do'), ce qui provoque la « quinte du loup ».

-
C

La gamme tempérée

Pour éviter le problème de la quinte du loup et faciliter l'interprétation musicale, il est nécessaire que l'intervalle entre deux notes séparées par un demi-ton soit constant. C'est le principe de la gamme tempérée qui définit le rapport les séparant : r = \sqrt[12]{2}.

Dans la gamme tempérée, le rapport entre deux notes consécutives est constant et égal à la racine douzième de 2 :


\dfrac{F_{\text{note suivante}}}{ F_{\text{note initiale}}} = r = \sqrt[12]{2}

Soit F_{\text{initiale}} la fréquence de la première note d'une octave.

La fréquence de la dernière note de cette octave F_{\text{octave}} est telle que : 
F_{\text{octave}} = 2 \times F_{\text{note initiale}}

Puisque l'intervalle entre les 12 notes est constant, si on le note r, on a :
F_{\text{octave}} = r \times r \times r \times r \times r \times r \times r \times r \times r \times r \times r \times r \times F_{\text{note initiale}}

Soit :
F_{\text{octave}} = r^{12} \times F_{\text{note initiale}}

On en déduit la valeur de l'intervalle r :
\dfrac{F_{\text{octave}}}{ F_{\text{note initiale}}}= 2 = r^{12}

D'où :
r = \sqrt[12]{2}

r = \sqrt[12]{2} est un nombre irrationnel, c'est-à-dire un nombre qui ne peut être écrit comme un rapport de deux nombres entiers.

Sa valeur peut être obtenue à l'aide de la touche \sqrt[y]{x}. En tapant 12\sqrt[y]{x} 2, on obtient \sqrt[12]{2} = 1{,}0594…

Malgré ses avantages, la gamme tempérée est quelque peu contestée par les puristes, car le rapport r étant un nombre irrationnel, ce n'est pas un rapport de deux entiers comme les rapports des gammes de Pythagore, les fréquences des notes de la gamme tempérée s'éloignent donc de celles des gammes de Pythagore, plus naturelles à l'oreille. Elle est néanmoins la gamme pratiquée dans la musique occidentale à partir du XVIIIe siècle.

Dans les gammes de Pythagore, l'intervalle entre une note et sa quinte est \dfrac{3}{2}=1{,}5 exactement, alors que dans la gamme tempérée, ces deux notes étant séparées par sept demi-tons, cet intervalle est r^7 = (\sqrt[12]{2})^7 = 1{,}4983…, ce qui est proche mais pas égal.