La musique ou l’art de faire entendre les nombres Cours

Sommaire

ILa consonance des sonsALa notion d'intervalleBL'octaveCLa quinteIILes gammesALa notion de gammeBLes gammes de PythagoreCLa gamme tempérée

La musique et les mathématiques sont deux langages universels. Dans l'Antiquité, les Grecs leur attribuaient la même origine : Pythagore cherchait ainsi à percer les secrets de l'harmonie musicale en utilisant des formules mathématiques.

Comment l'analyse mathématique du phénomène vibratoire du son aboutit-elle à une production artistique ?

I

La consonance des sons

A

La notion d'intervalle

En musique, on parle d'intervalles entre deux sons.

Intervalle

En musique, un intervalle entre deux sons est défini par le rapport (et non la différence) de leurs fréquences. 

Si la fréquence d'un son 2 est le double de celle d'un son 1, les deux sons sont consonnants et l'intervalle qui les sépare est \dfrac{2}{1}.

Séparés par certains intervalles, des sons entendus successivement ou simultanément provoquent une sensation agréable. Lorsque deux sons donnent cette impression d'harmonie, on dit qu'ils sont consonants.

B

L'octave

Octave

Une octave est l'intervalle qui sépare deux sons qui correspondent à une même note mais à deux hauteurs différentes. Leurs fréquences sont alors dans le rapport   \dfrac{2}{1} :


\dfrac{f_{\text{octave}}}{f_{\text{note initiale}}} = \dfrac{2}{1}

Deux sons dont les fréquences sont dans le rapport  \dfrac{2}{1} correspondent à une même note, à deux hauteurs différentes.

La fréquence correspondant au la3 est 440 Hz. Lorsque l'on entend un son de fréquence 880 Hz, on reconnaît qu'il s'agit de la même note mais plus aiguë, il s'agit toujours d'un la mais à une octave supérieure, le la4. Les fréquences de ces sons sont bien dans un rapport \dfrac{2}{1}  :

\dfrac{f_{la_4}}{f_{la_3}} = \dfrac{880}{440} = \dfrac{2}{1}

L'indice qui suit parfois le nom d'une note précise son octave.

On distingue les la1, la2, la3 et la4, etc., ces notes étant séparées par une octave.

C

La quinte

Quinte

Une quinte est l'intervalle qui sépare deux sons (consonants) dont les fréquences sont dans le rapport \dfrac{3}{2} :

\dfrac{f_{\text{quinte}}}{f_{\text{note initiale}}} = \dfrac{3}{2}

La fréquence correspondant au do2 est 132 Hz. La fréquence correspondant à sa quinte est donc :

f_{\text{quinte de }do_3} = \dfrac{3}{2} \times f_{do_3}
f_{\text{quinte de } do_3} = \dfrac{3}{2} \times 132

f_{\text{quinte de } do_3} = 198\text{ Hz}

Cette fréquence correspond au sol3.

II

Les gammes

A

La notion de gamme

Gamme

Une gamme est une suite finie de notes réparties sur une octave.

L'énumération « domifasollasi » correspond à la gamme de do.

Dans l'Antiquité, la construction des gammes était basée sur des fractions simples ( \dfrac{2}{1}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{4}{3}, etc.). En effet, des sons dont les fréquences sont dans ces rapports simples étaient alors considérés comme les seuls à être consonants.

B

Les gammes de Pythagore

À partir de ses expériences avec une corde vibrante, Pythagore s'est basé sur le cycle des quintes pour construire ses gammes.

Ses gammes pouvaient être au maximum composées de 12 notes « dodo# − # – mifafa # – solsol# – lala# − si », séparées par un intervalle appelé « demi-ton ».

Dans le cycle des quintes, on passe d'une note à l'autre en montant d'une quinte, donc en multipliant la fréquence par  \dfrac{3}{2} :

-

Mais ces notes s'étalent sur plusieurs octaves, puisqu'avec comme première note le do1 de fréquence 130 Hz, la première octave s'étend jusqu'au prochain do, le do2, de fréquence 2 \times 130 = 260\text{ Hz}.

Pour construire une gamme sur une seule octave, Pythagore divise donc par deux les fréquences des notes qui sont en dehors et éventuellement plusieurs fois. Ce processus se nomme « la normalisation ».

Pour construire la gamme qui s'étend sur la première octave, il faut diviser les fréquences des notes qui dépassent les 260 Hz :

-

Ainsi, la gamme correspondant à la première octave est composée des notes suivantes :

Notes

do1

1

mi1

fa1

sol1

la1

si1

Fréquences (Hz)

130

147

165

186

195

220

248

La construction des gammes de Pythagore à partir du cycle des quintes fait que les intervalles entre chaque note sont des rapports de nombre entier :

-

À partir de la note do1, on obtient la note 1 en 2 quintes et un abaissement d'octave. L'intervalle entre ces notes est donc :
\dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{8}

La construction des gammes à l'aide du cycle des quintes présente un défaut majeur : elle ne se « reboucle » pas. En effet au bout de 12 quintes, on retombe sur la note do mais l'intervalle des 12 quintes pures \dfrac{3}{2}^{12} est légèrement supérieur à celui correspondant à 7 octaves (27).

-

L'écart qui sépare les deux dernières quintes, appelés « comma » fait qu'elles ne sont plus consonantes et provoque une sensation désagréable, analogue au hurlement d'un loup, raison pour laquelle on parle de la « quinte du loup ».

C

La gamme tempérée

Outre le problème de la quinte du loup, les gammes de Pythagore présentent un défaut majeur : elles compliquent la transposition des œuvres musicales. Celle-ci consiste à décaler toutes les notes d'un même intervalle, ce qui est utile lorsque divers instruments interviennent ensemble ou quand le morceau de musique fait appel à plusieurs gammes.

Pour pallier ces inconvénients, il est nécessaire que l'intervalle entre deux notes séparées par un demi-ton soit constant. Le rapport les séparant doit alors être r = \sqrt[12]{2}

Dans la gamme tempérée, le rapport entre deux notes consécutives est constant et égal à la racine douzième de 2 :


\dfrac{F_{\text{note suivante}}}{ F_{\text{note initiale}}} = r = \sqrt[12]{2}

Soit F_{\text{initiale}} la fréquence de la première note d'une octave.

La fréquence de la dernière note de cette octave F_{\text{octave}}  est telle que :
F_{\text{octave}} = 2 \times F_{\text{note initiale}}

Puisque l'intervalle entre les 12 notes est constant, si on le note r , on a :
F_{\text{octave}} = r \times r \times r \times r \times r \times r \times r \times r \times r \times r \times r \times r \times F_{\text{note initiale}}

Soit :
F_{\text{octave}} = r^{12} \times F_{\text{note initiale}}

On en déduit la valeur de l'intervalle r  :
\dfrac{F_{\text{octave}}}{ F_{\text{note initiale}}}= 2 = r^{12}

D'où :
r = \sqrt[12]{2}

r = \sqrt[12]{2} est un nombre irrationnel, c'est-à-dire un nombre qui ne peut être écrit comme un rapport de deux nombres entiers.

Sa valeur peut être obtenue à l'aide de la touche \sqrt[y]{x} . En tapant  12\sqrt[y]{x} 2 , on obtient \sqrt[12]{2} = 1,0594…

Malgré ses avantages, la gamme tempérée est quelque peu contestée par les puristes, car le rapport r étant un nombre irrationnel ce n'est pas un rapport de deux entiers comme les rapports des gammes de Pythagore, les fréquences des notes de la gamme tempérée s'éloignent donc de celles des gammes de Pythagore, plus naturelles à l'oreille. Elle est néanmoins la gamme pratiquée dans la musique occidentale à partir du XVIIIe siècle.

Dans les gammes de Pythagore, l'intervalle entre une note et sa quinte est \dfrac{3}{2}=1,5 exactement, alors que dans la gamme tempérée ces deux notes étant séparées par sept demi-tons, cet intervalle est r^7 = (\sqrt[12]{2})^7 = 1,4983… , ce qui est proche mais pas égal.