Calculer les fréquences d'une gamme de Pythagore Exercice

L'octave supérieure à la note de fréquence f_0 de 440 Hz correspond à la note dont la fréquence est deux fois plus grande, soit 880 Hz. La gamme de Pythagore sera l'ensemble des notes entre ces deux fréquences :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	440												880
Note la plus proche	La3												La4

La deuxième note de la gamme après le La₃ est la note de fréquence f_1 correspondant à la quinte supérieure de la fréquence f_0 donc :

f_1 = \dfrac{3}{2} \times f_0 = \dfrac{3}{2} \times 440 = 660 Hz

Cette fréquence étant dans l'octave, la deuxième note de la gamme a une fréquence de 165 Hz ce qui correspond à la note Mi₄ :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	440	660											880
Note la plus proche	La3	Mi4											La4

La troisième note de la gamme est la note de fréquence f_2 correspondant à la quinte supérieure de la fréquence f_1 donc :

f_2 = \dfrac{3}{2} \times f_1 = \dfrac{3}{2} \times 660 = 990 Hz

Cette fréquence sort de l'octave puisqu'elle est supérieure à 880 hertz. La fréquence de la troisième note de la gamme sera donc la moitié de f_2 soit 495 Hz ce qui correspond à la note Si₄ :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	440	660	495										220
Note la plus proche	La3	Mi4	Si3										La4

En continuant ainsi, on construit la gamme de Pythagore pour l'octave allant de 440 Hz à 880 Hz :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	440	660	495	743	557	835	626	470	705	529	793	595	880
Note la plus proche	La3	Mi4	Si3	Fa#4	Do#4	Sol#4	Ré#4	La#3	Fa4	Do4	Sol4	Ré4	La4

L'octave supérieure à la note de fréquence f_0 de 185 Hz correspond à la note dont la fréquence est deux fois plus grande, soit 370 Hz. La gamme de Pythagore sera l'ensemble des notes entre ces deux fréquences :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	185												370
Note la plus proche	Fa#2												Fa#3

La deuxième note de la gamme après le Fa#₂ est la note de fréquence f_1 correspondant à la quinte supérieure de la fréquence f_0 donc :

f_1 = \dfrac{3}{2} \times f_0 = \dfrac{3}{2} \times 185 = 278 Hz

Cette fréquence étant dans l'octave, la deuxième note de la gamme a une fréquence de 278 Hz ce qui correspond à la note Do#₃ :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	185	278											370
Note la plus proche	Fa#2	Do#3											Fa#3

La troisième note de la gamme est la note de fréquence f_2 correspondant à la quinte supérieure de la fréquence f_1 donc :

f_2 = \dfrac{3}{2} \times f_1 = \dfrac{3}{2} \times 278 = 417 Hz

Cette fréquence sort de l'octave puisqu'elle est supérieure à 370 hertz. La fréquence de la troisième note de la gamme sera donc la moitié de f_2 soit 208 Hz ce qui correspond à la note Sol₂ :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	185	278	209										370
Note la plus proche	Fa#2	Do#3	Sol2										Fa#3

En continuant ainsi, on construit la gamme de Pythagore pour l'octave allant de 185 Hz à 370 Hz :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	185	278	209	314	236	354	266	200	300	225	338	254	370
Note la plus proche	Fa#2	Do#3	Sol#2	Ré#3	La#2	Fa3	Do3	La#3	Sol3	La2	Mi3	Si2	Fa#3

L'octave supérieure à la note de fréquence f_0 de 74 Hz correspond à la note dont la fréquence est deux fois plus grande, soit 148 Hz. La gamme de Pythagore sera l'ensemble des notes entre ces deux fréquences :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	74												148
Note la plus proche	Ré1												Ré2

La deuxième note de la gamme après le Ré₁ est la note de fréquence f_1 correspondant à la quinte supérieure de la fréquence f_0 donc :

f_1 = \dfrac{3}{2} \times f_0 = \dfrac{3}{2} \times 74 = 111 Hz

Cette fréquence étant dans l'octave, la deuxième note de la gamme a une fréquence de 111 Hz ce qui correspond à la note La₁ :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	74	111											148
Note la plus proche	Ré1	La1											Ré2

La troisième note de la gamme est la note de fréquence f_2 correspondant à la quinte supérieure de la fréquence f_1 donc :

f_2 = \dfrac{3}{2} \times f_1 = \dfrac{3}{2} \times 111 = 167 Hz

Cette fréquence sort de l'octave puisqu'elle est supérieure à 148 hertz. La fréquence de la troisième note de la gamme sera donc la moitié de f_2 soit 83 Hz ce qui correspond à la note Mi₁ :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	74	111	83										148
Note la plus proche	Ré1	La1	Mi1										Ré2

En continuant ainsi, on construit la gamme de Pythagore pour l'octave allant de 74 Hz à 148 Hz :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	74	111	83	125	94	141	106	80	120	90	135	101	148
Note la plus proche	Ré1	La1	Mi1	Si1	Fa#1	Do#2	Sol#1	Ré#1	La#1	Fa1	Do2	Sol1	Ré2

L'octave supérieure à la note de fréquence f_0 de 494 Hz correspond à la note dont la fréquence est deux fois plus grande, soit 988 Hz. La gamme de Pythagore sera l'ensemble des notes entre ces deux fréquences :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	494												988
Note la plus proche	Si3												Si4

La deuxième note de la gamme après le Si₃ est la note de fréquence f_1 correspondant à la quinte supérieure de la fréquence f_0 donc :

f_1 = \dfrac{3}{2} \times f_0 = \dfrac{3}{2} \times 494 = 741 Hz

Cette fréquence étant dans l'octave, la deuxième note de la gamme a une fréquence de 741 Hz ce qui correspond à la note Fa#₄ :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	494	741											988
Note la plus proche	Si3	Fa#4											Si4

La troisième note de la gamme est la note de fréquence f_2 correspondant à la quinte supérieure de la fréquence f_1 donc :

f_2 = \dfrac{3}{2} \times f_1 = \dfrac{3}{2} \times 741 = 1\ 112 Hz

Cette fréquence sort de l'octave puisqu'elle est supérieure à 988 hertz. La fréquence de la troisième note de la gamme sera donc la moitié de f_2 soit 556 Hz ce qui correspond à la note Do#₄ :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	494	741	556										988
Note la plus proche	Si3	Fa#4	Do#4										Si4

En continuant ainsi, on construit la gamme de Pythagore pour l'octave allant de 494 Hz à 988 Hz :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	494	741	556	834	626	939	704	528	792	594	891	668	988
Note la plus proche	Si3	Fa#4	Do#4	Sol#4	Ré#4	La#4	Fa4	Do4	Sol4	Ré4	La4	Mi4	Si4

L'octave supérieure à la note de fréquence f_0 de 110 Hz correspond à la note dont la fréquence est deux fois plus grande, soit 220 Hz. La gamme de Pythagore sera l'ensemble des notes entre ces deux fréquences :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	110												220
Note la plus proche	La1												La2

La deuxième note de la gamme après le La₁ est la note de fréquence f_1 correspondant à la quinte supérieure de la fréquence f_0 donc :

f_1 = \dfrac{3}{2} \times f_0 = \dfrac{3}{2} \times 110 = 165 Hz

Cette fréquence étant dans l'octave, la deuxième note de la gamme a une fréquence de 165 Hz ce qui correspond à la note Mi₂ :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	110	165											220
Note la plus proche	La1	Mi2											La2

La troisième note de la gamme est la note de fréquence f_2 correspondant à la quinte supérieure de la fréquence f_1 donc :

f_2 = \dfrac{3}{2} \times f_1 = \dfrac{3}{2} \times 165 = 248 Hz

Cette fréquence sort de l'octave puisqu'elle est supérieure à 220 hertz. La fréquence de la troisième note de la gamme sera donc la moitié de f_2 soit 124 Hz ce qui correspond à la note Si₃ :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	110	165	124										220
Note la plus proche	La1	Mi2	Si1										La2

En continuant ainsi, on construit la gamme de Pythagore pour l'octave allant de 110 Hz à 220 Hz :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	110	165	124	186	140	210	158	119	179	134	201	151	220
Note la plus proche	La1	Mi2	Si1	Fa#2	Do#2	Sol#2	Ré#2	La#1	Fa2	Do2	Sol2	Ré2	La2

L'octave supérieure à la note de fréquence f_0 de 370 Hz correspond à la note dont la fréquence est deux fois plus grande, soit 740 Hz. La gamme de Pythagore sera l'ensemble des notes entre ces deux fréquences :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	370												740
Note la plus proche	Fa#3												Fa#4

La deuxième note de la gamme après le Fa#₃ est la note de fréquence f_1 correspondant à la quinte supérieure de la fréquence f_0 donc :

f_1 = \dfrac{3}{2} \times f_0 = \dfrac{3}{2} \times 370 = 555 Hz

Cette fréquence étant dans l'octave, la deuxième note de la gamme a une fréquence de 555 Hz ce qui correspond à la note Do#₄ :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	370	555											740
Note la plus proche	Fa#3	Do#4											Fa#4

La troisième note de la gamme est la note de fréquence f_2 correspondant à la quinte supérieure de la fréquence f_1 donc :

f_2 = \dfrac{3}{2} \times f_1 = \dfrac{3}{2} \times 555 = 833 Hz

Cette fréquence sort de l'octave puisqu'elle est supérieure à 740 hertz. La fréquence de la troisième note de la gamme sera donc la moitié de f_2 soit 417 Hz ce qui correspond à la note Sol₃ :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	370	555	417										740
Note la plus proche	Fa#3	Do#4	Sol#3										Fa#4

En continuant ainsi, on construit la gamme de Pythagore pour l'octave allant de 370 Hz à 740 Hz :

Fréquence	f_0	f_1	f_2	f_3	f_4	f_5	f_6	f_7	f_8	f_9	f_{10}	f_{11}	2f_0
Valeur de la fréquence (Hz)	370	555	417	624	468	702	527	395	593	445	668	501	740
Note la plus proche	Fa#3	Do#4	Sol#3	Ré#4	La#3	Fa4	Do4	Sol3	Ré4	La3	Mi4	Si3	Fa#4