On définit la suite u sur \mathbb{N}^{\star} par :
u_n = \dfrac{1/n}{n^3+2n}
On donne le tableau de convergence de la suite.
Par quelles valeurs doit-on remplacer (1) et (2) ?
(1) :
On s'intéresse à la limite de la suite définie par la formule :
n^3+2n
Il s'agit ici d'une forme polynômiale.
Comme :
- \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} n^3 = +\infty
- \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 2n = +\infty
Donc :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \left(n^3+2n\right) = +\infty par somme de suites qui tendent vers +\infty.
On remplace (1) par +\infty.
(2) :
u est définie en tant que quotient d'une suite qui tend vers 0^+ par une suite qui diverge vers +\infty. Il n'y a pas de forme indéterminée et :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} u_n = 0^+
On remplace (2) par 0.
Ainsi, on remplace (1) par +\infty et on remplace (2) par 0.
On définit la suite u sur \mathbb{N}\backslash\{0;1\} par :
u_n = \dfrac{1/(-2n^2+2)}{1+1/n}
On donne le tableau de convergence de la suite.
Par quelle valeur doit-on remplacer (1) et (2) ?
(1) :
On s'intéresse à la limite de la suite définie par la formule :
\dfrac{1}{-2n^2+2}
- \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} -2n^2+2 = -\infty en tant que fonction polynômiale du second degré dont la parabole est tournée vers le bas.
- Or, \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \dfrac{1}{x} = 0^-.
Donc par composition de limites :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{-2n^2+2}= 0^-
On remplace (1) par 0^-.
(2) :
u est définie en tant que quotient d'une suite qui converge vers 0^- et d'une suite qui converge vers 1. Il n'y a pas de forme indéterminée et :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} u_n = 0
On remplace (2) par 0.
Ainsi, on remplace (1) par 0^- et on remplace (2) par 0.
On définit la suite u sur \mathbb{N}^{\star} par u_n = \dfrac{\sqrt{n^2-2n+1}}{1/n}.
On donne le tableau de convergence de la suite.
Par quelle valeur doit-on remplacer (1) et (2) ?
(1) :
On s'intéresse à la limite de la suite définie par la formule :
\sqrt{2n^2-2n+1}
- \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \left(2n^2-2n+1\right) = +\infty en tant que fonction polynômiale du second degré dont la parabole est tournée vers le haut.
- Or \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty.
Donc par composition de limites :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{2n^2-2n+1}= +\infty
On remplace (1) par +\infty.
(2) :
u est définie en tant que quotient d'une suite qui diverge vers +\infty et d'une suite qui converge vers 0^+. Il n'y a pas de forme indéterminée et :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} u_n = +\infty
On remplace (2) par +\infty.
Ainsi, on remplace (1) par +\infty et on remplace (2) par +\infty.
On définit u sur \mathbb{N} par :
u_n = \dfrac{1-\sqrt{n^2+2n}}{2n-1}
On donne le tableau de convergence de la suite.
Par quelle valeur doit-on remplacer (1) et (2) ?
(1) :
On s'intéresse à la limite de la suite définie par la formule :
1-\sqrt{n^2+2n}
- \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \left(n^2+2n\right) = +\infty en tant que fonction polynômiale du second degré dont la parabole est tournée vers le haut.
- Or \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty.
Donc par composition de limites :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{n^2+2n}= +\infty
Finalement : \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \left(1-\sqrt{n^2+2n}\right) = - \infty par multiplication et somme de suites. (on multiplie une suite qui tend vers +\infty par -1 puis on ajoute 1).
On remplace (1) par -\infty.
(2) :
u est définie en tant que quotient d'une suite qui diverge vers -\infty et d'une suite qui diverge vers +\infty. Il y a une forme indéterminée.
On remplace (2) par FI.
Ainsi, on remplace (1) par -\infty et on remplace (2) par FI.
On définit la suite u sur \mathbb{N} par :
u_n = \dfrac{-2n+1}{-1/n^2}
On donne le tableau de convergence de la suite.
Par quelle valeur doit-on remplacer (1) et (2) ?
(1) :
On s'intéresse à la limite de la suite définie par la formule :
\dfrac{-1}{n^2}
- \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} n^2 = +\infty en tant que fonction polynômiale du second degré dont la parabole est tournée vers le haut.
- Or \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} = 0^+.
Donc par composition de limites et multiplication par une constante négative :
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}-\dfrac{1}{n^2}= 0^-
On remplace (1) par 0^-.
(2) :
u est définie en tant que quotient d'une suite qui diverge vers -\infty et d'une suite qui converge vers 0^-. Il n'y a pas de forme indéterminée et :
\lim\limits_{n \rightarrow + \infty } u_n = +\infty
On remplace (2) par +\infty.
Ainsi, on remplace (1) par 0^- et on remplace (2) par +\infty.