On considère une suite (u)_n définie pour tout n \in \mathbb{N}.
On donne : \lim\limits_{n\rightarrow + \infty} u_n = +\infty .
Quelle est la définition de la limite de u_n ?
D'après l'énoncé, la suite (u) diverge vers +\infty.
D'après le cours, la définition de la divergence vers +\infty d'une suite est :
Pour tout réel A, il existe un rang n_1 tel que pour tout n\geq n_1 , u_n \geq A .
Cela signifie que la suite « dépasse » le réel A à partir d'un certain rang.
Ainsi, pour tout réel A, il existe un rang n_1 tel que pour tout n\geq n_1 , u_n \geq A .
On rappelle que : \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } u_n = +\infty.
On considère une seconde suite (v)_n définie sur \mathbb{N} et pour laquelle à partir d'un certain rang on a :
u_n \leq v_n
Soit A un réel quelconque.
Vrai ou faux ? Il existe un rang à partir duquel v_n \geq A .
D'après la question précédente, pour le réel A fixé dans l'énoncé, il existe un rang n_1 tel que pour tout n\geq n_1 , u_n \geq A .
De plus, on sait qu'à partir d'un certain rang n_2, pour tout n\geq n_2 on a v_n \geq u_n .
On pose n_0=max(n_1,n_2).
On a alors :
- pour tout n \geq n_0, u_n \geq A , car n_0 \geq n_1 ;
- pour tout n \geq n_0, v_n \geq u_n , car n_0 \geq n_2.
Ainsi, pour tout n \geq n_0 , on a : v_n \geq u_n\geq A et donc en particulier v_n \geq A .
Il existe donc un rang à partir duquel v_n \geq A .
On considère deux suites (u) et (v) telles que \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } u_n = +\infty.
À partir d'un certain rang on a : u_n \leq v_n .
Quelle est la limite de v_n quand n tend vers +\infty ?
D'après la question précédente, pour un réel A fixé arbitrairement, il existe un rang n_0 tel que pour tout n \geq n_0 v_n \geq A .
On retrouve ici la définition d'une suite divergente vers +\infty rappelée à la question 1.
Ainsi, on a par définition : \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} v_n = +\infty.