Alexis souhaite investir en bourse. Il a un capital de départ de 1 500 €. Il confie son capital de départ à une société chargée de gérer son investissement. Cette société offre à Alexis une augmentation de son capital de 3 % par an. En contrepartie, Alexis devra retirer de son capital chaque année 33 € de frais de gestion dus à la société.
Pour tout n\in\mathbb{N}, on note u_n le capital total d'Alexis à la fin de la n-ième année d'investissement.
Quelle est la valeur du capital d'Alexis à la fin de sa première année d'investissement ?
On cherche à calculer le montant du capital d'Alexis à la fin de sa première année d'investissement, ce qui revient à calculer u_1.
D'après l'énoncé, à la fin de la première année d'investissement, la capital d'Alexis augmente de 3 %. De plus, il doit verser 33 € à la société d'investissement.
On a donc :
u_1=\text{1 500} \times 1{,}03 - 33\\\Leftrightarrow u_1=\text{1 545} - 33
Ainsi, u_1=\text{1 512}.
Quelle est la valeur du capital d'Alexis à la fin de la deuxième année d'investissement ?
On cherche à calculer le montant du capital d'Alexis à la fin de sa deuxième année d'investissement, ce qui revient à calculer u_2.
Au début de sa deuxième année d'investissement, le capital d'Alexis est de 1 512 €. À la fin de sa deuxième année d'investissement, le capital d'Alexis augmente de 3 %, mais il doit verser 33 € à la société d'investissement.
On a donc :
u_2=\text{1 512} \times 1{,}03 - 33\\\Leftrightarrow u_2=\text{1 557},36 - 33
Ainsi, u_2=\text{1 524{,}36}.
Quelle est l'expression par récurrence de la suite (u_n) ?
Chaque année, Alexis augmente son capital de 3 % et en retire 33 €.
On peut donc exprimer la suite (u_n) de la manière suivante :
\begin{cases} u_0 = \text{1 500} \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = 1{,}03u_n-33 \end{cases}
On introduit la suite (v_n) définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, v_n = u_n-\text{1 100}
En partant de l'expression de v_{n+1}, quelle est l'expression explicite de la suite (u_n) ?
On part de l'expression de v_{n+1}\\ :
v_{n+1} = u_{n+1} - \text{1 100}\\\\\Leftrightarrow v_{n+1} = 1{,}03u_n - 33 - \text{1 100}\\\\
Or :
u_n=v_n+\text{1 100}
D'où :
v_{n+1} = 1{,}03(v_n+\text{1 100}) - 33 - \text{1 100}\\\\\\\Leftrightarrow v_{n+1} = 1{,}03v_n+(\text{1 100} \times 1{,}03) - 33 - \text{1 100}\\\\\\\\\\\Leftrightarrow v_{n+1} = 1{,}03v_n+\text{1 100} (1{,}03-1) - 33 \\\\\\\\\Leftrightarrow v_{n+1} = 1{,}03v_n+(\text{1 100} \times 0{,}03) - 33 \\\\\\\\\Leftrightarrow v_{n+1} = 1{,}03v_n+33 - 33 \\\\\\\\\Leftrightarrow v_{n+1} = 1{,}03v_n
De plus, v_0 = u_0 - \text{1 100} = \text{1 500} - \text{1 100} = 400.
On remarque que (v_n) est une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme 400.
On peut donc écrire :
\forall n \in \mathbb{N}, v_n = 400 \times (1{,}03)^n
Or, on sait que :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n = v_n + \text{1 100}\\\Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, u_n = 400 \times (1{,}03)^n+ \text{1 100}\\
On a donc bien l'expression explicite de la suite (u_n) :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n = 400 \times (1{,}03)^n+ \text{1 100}
En s'appuyant sur les variations de la suite (v_n), laquelle des propositions suivantes concernant les variations de (u_n) est vraie ?
On cherche à étudier les variations de la suite (v_n).
On pose :
\forall n \in \mathbb{N}, \dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{(1{,}03)^{n+1}\times 400}{(1{,}03)^n\times 400}\\\Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, \dfrac{v_{n+1}}{v_n} = 1{,}03 \gt 1
La suite (v_n) est donc strictement croissante sur \mathbb{N}.
Or, la suite (u_n) peut s'exprimer par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n = v_n + \text{1 100}
Donc si (v_n) est strictement croissante sur \mathbb{N}, (u_n) est strictement croissante sur \mathbb{N}.
(u_n) est donc strictement croissante sur \mathbb{N}.
Quelle est la valeur de la limite de la suite (u_n) lorsque n tend vers +\infty ?
On a montré que \forall n \in \mathbb{N}, u_n = 400\times(1{,}03)^n + \text{1 100}.
Par définition, soit q un réel tel que q \gt 1, on a :
\lim\limits_{n \to ±\infty} q^n = +\infty
Ici, on peut déduire que :
\lim\limits_{n \to ±\infty} (1{,}03)^n = +\infty\\\Rightarrow \lim\limits_{n \to ±\infty} 400\times (1{,}03)^n = +\infty\\\\\Rightarrow \lim\limits_{n \to ±\infty} 400\times (1{,}03)^n + \text{1 100} = +\infty\\
On a donc :
\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty