Étudier un phénomène d’évolution modélisable par une suite Problème

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Dernière modification : 26/05/2025 - Conforme au programme 2024-2025

Alexis souhaite investir en bourse. Il a un capital de départ de 1 500 €. Il confie son capital de départ à une société chargée de gérer son investissement. Cette société offre à Alexis une augmentation de son capital de 3 % par an. En contrepartie, Alexis devra retirer de son capital chaque année 33 € de frais de gestion dus à la société.

Pour tout n\in\mathbb{N}, on note u_n le capital total d'Alexis à la fin de la n-ième année d'investissement.

Quelle est la valeur du capital d'Alexis à la fin de sa première année d'investissement ?

u_1=\text{1 512}

u_1=\text{1 530}

u_1=\text{1 496}

u_1=\text{1 560}

Quelle est la valeur du capital d'Alexis à la fin de la deuxième année d'investissement ?

u_2=\text{1 524{,}36}

u_2=\text{1 520{,}6}

u_2=\text{1 555{,}41}

u_2=\text{1 510{,}6}

Quelle est l'expression par récurrence de la suite (u_n) ?

\begin{cases} u_0 = \text{1 500} \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = 1{,}03u_n-33 \end{cases}

\begin{cases} u_0 = \text{1 500} \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = 1{,}03u_n+33 \end{cases}

\begin{cases} u_0 = \text{1 500} \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = 1{,}3u_n-33 \end{cases}

\begin{cases} u_0 = \text{1 500} \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = 0{,}3u_n-33 \end{cases}

On introduit la suite (v_n) définie par :
\forall n \in \mathbb{N}, v_n = u_n-\text{1 100}

En partant de l'expression de v_{n+1}, quelle est l'expression explicite de la suite (u_n) ?

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = 400 \times (1{,}03)^n+ \text{1 100}\\

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = 400 \times (1{,}03)\times n+ \text{1 100}\\

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = 400 \times (1{,}03)^{n+1}+ \text{1 100}\\

\forall n \in \mathbb{N}, u_n = 400 \times (0{,}03)\times n+ \text{1 100}\\

En s'appuyant sur les variations de la suite (v_n), laquelle des propositions suivantes concernant les variations de (u_n) est vraie ?

(u_n) est strictement croissante sur \mathbb{N}.

(u_n) est strictement décroissante sur \mathbb{N}.

(u_n) est croissante pour n \in [0{,}33] et décroissante pour n \gt 33.

(u_n) est décroissante pour n \in [0{,}33] et croissante pour n \gt 33.

Quelle est la valeur de la limite de la suite (u_n) lorsque n tend vers +\infty ?

\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty

\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty

\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0

\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 33