On considère la suite (u_n) définie par récurrence de la manière suivante :
\begin{cases} u_0 = 4 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}*, u_{n+1} = 5u_n \end{cases}
Quelle est la nature de la suite (u_n) ?
La formule par récurrence de (u_n) est de la forme u_{n+1} = qu_n. On reconnaît une suite géométrique. Le premier terme est u_0=4 et la raison est q=5.
(u_n) est donc une suite géométrique.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
On a montré que (u_n) est une suite géométrique de premier terme u_0=4 et de raison q=5. Or, d'après le cours, une suite géométrique de raison q avec q\gt 1 est strictement croissante sur \mathbb{N}.
(u_n) est donc strictement croissante sur \mathbb{N}.
En raisonnant par tâtonnement, quelle est la plus petite valeur de n \in \mathbb{N} telle que u_n \gt 41 ?
On raisonne par tâtonnement :
Pour n=0, u_0 = 4 \lt 42.
Pour n=1, on calcule u_1 grâce à la formule de récurrence : u_1=5\times u_0 = 5\times 4 = 20 \lt 42.
Pour n=2, on calcule u_2 grâce à la formule de récurrence : u_2=5\times u_1 = 5\times 20 = 100 \gt 42.
La plus petite valeur de n \in \mathbb{N} telle que u_n \gt 41 est donc n=2.
On cherche maintenant à trouver la plus petite valeur de n \in \mathbb{N} telle que u_n \geqslant \text{7 841}. Pour cela, on va chercher à écrire un algorithme.
Quelle boucle doit-on utiliser pour que l'algorithme reproduise le raisonnement par tâtonnement de la question précédente ?
On veut que l'algorithme calcule le plus petit n \in \mathbb{N} tel que u_n\geqslant \text{7 841} par tâtonnement en connaissant le palier de départ n=0 et la valeur de u_0.
L'algorithme doit calculer u_1, déterminer si la valeur est de u_1 est supérieure au seuil 7 841, si c'est le cas, afficher n=1 et si ce n'est pas le cas, calculer u_2 par récurrence et ainsi de suite jusqu'à trouver la valeur cherchée.
Il faut donc utiliser une boucle "while" qui va continuer à calculer u_{n+1} tant que u_n\leqslant\text{7 841}.
La boucle à utiliser est donc la boucle "while".
Quelle est la bonne programmation de l'algorithme ?
Il faut d'abord initialiser l'algorithme en lui donnant un nom, la première valeur de n=0 et la valeur de u_0=4.
Ensuite, il faut utiliser une boucle "Tant que" ("While" en Anglais) qui vérifie que la première valeur de la suite est inférieure à la valeur du seuil, puis qui calcule la valeur suivante jusqu'à trouver la première valeur de n qui atteint le seuil.
Puis, il faut terminer le programme et afficher la valeur de n trouvée.
L'algorithme de seuil à programmer est donc le suivant :
\text{PROGRAM SEUIL}
U\leftarrow 4
N\leftarrow 0
\text{Tant que } U\leq 7841
\hspace{2em}N\leftarrow N+1
\hspace{2em}U\leftarrow 5*U
\text{Afficher } N