La notion de limite d'une suite
Lorsque l'on modélise un phénomène discret à l'aide d'une suite, la question du comportement de cette suite lorsque l'indice est grand se pose naturellement. On parle alors de la limite de la suite.
Les cas de limites infinies
Il existe des suites dont les termes sont aussi grands que l'on veut (ou aussi petits que l'on veut) à partir d'un certain rang. On parle alors de limite infinie pour la suite.
Limite infinie positive d'une suite
On dit qu'une suite (u_n) tend vers +\infty lorsque n tend vers +\infty si les termes u_{n} deviennent aussi grands que l'on veut quand n est assez grand.
Lorsqu'une suite (u_n) tend vers +\infty, on note :
\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty
On observe que la suite définie, pour tout entier naturel n, par u_{n}=n^{2} a des termes aussi grands que l'on veut lorsque n est assez grand :
Si n \gt 100, alors u_{n} \gt 10\ 000 ; si n \gt 1\ 000, alors u_{n} \gt 1\ 000\ 000 ; etc.
On dit que la suite (u_{n}) tend vers +\infty et on note :
\lim\limits_{n\to +\infty}n^2=+\infty
Limite infinie négative d'une suite
On dit qu'une suite (u_n) tend vers -\infty lorsque n tend vers +\infty si les termes u_{n} deviennent aussi petits (négatifs et avec une grande valeur absolue) que l'on veut quand n est assez grand.
Lorsqu'une suite (u_n) tend vers -\infty, on note :
\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=-\infty
On observe que la suite définie, pour tout entier naturel n, par u_{n}=-n+3 a des termes aussi petits que l'on veut lorsque n est assez grand :
Si n \gt 103, alors u_{n} \lt -100 ; si n \gt 100 \ 003, alors u_{n} \lt -100\ 000 ; etc.
On dit que la suite (u_{n}) tend vers -\infty et on note :
\lim\limits_{n\to +\infty}\left(-n+3\right)=-\infty
Suites de référence qui ont une limite infinie
On admet que les suites suivantes, définies de manière explicite pour tout entier naturel n, tendent vers +\infty :
- n
- n^2
- \sqrt{n}
- n^{a} où a \gt 0
- e^{n}
\lim\limits_{n \to +\infty} n^{3} = +\infty
Les suites convergentes et les suites divergentes
Lorsque l'indice des termes d'une suite devient grand, les suites dont les termes se rapprochent d'un nombre réel sont les suites convergentes. Les autres suites sont divergentes.
Suite convergente
On dit qu'une suite (u_n) converge vers un réel \ell quand n tend vers + \infty si les termes u_{n} sont aussi proches de \ell que l'on veut quand n devient assez grand.
On dit également que la suite (u_n) admet pour limite \ell.
Lorsqu'une suite (u_n) converge vers un réel \ell, on note :
\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\ell
(u_{n}) est la suite définie, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, par u_{n}=5+\dfrac{1}{n}.
Représentation des termes de la suite (u_{n}) pour n compris entre 1 et 95.
On observe que u_{n} est aussi proche du nombre 5 que l'on veut, lorsque n est suffisamment grand.
On dit que la suite (u_{n}) converge vers 5.
On note \lim\limits_{n\to +\infty}\left(5+\frac{1}{n}\right)=5.
Suites de référence qui ont une limite finie
Les suites suivantes, définies de manière explicite pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, convergent vers 0 :
- \dfrac{1}{n}
- \dfrac{1}{n^2}
- \dfrac{1}{\sqrt{n}}
\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0
Suite divergente
On dit qu'une suite diverge (ou est divergente) lorsqu'elle ne converge pas.
Elle peut donc :
- soit admettre une limite infinie ;
- soit ne pas admettre de limite.
Soit (u_n) la suite définie sur \mathbb{N} par u_n=\sin(n).
On a représenté les premiers termes de la suite en bleu ci-dessous.
Représentation graphique de u_{n}=\sin\left(n\right)
On observe que la suite (u_n) ne s'accumule pas autour d'une valeur réelle : elle ne converge pas.
Elle est donc divergente.
Cette suite n'admet pas non plus de limite infinie.
Soit (u_n) la suite définie sur \mathbb{N} par u_n=n^2.
La suite (u_n) est divergente car elle admet pour limite +\infty.
Opérations sur les limites de suites
Pour simplifier l'étude de la limite d'une suite, on peut décomposer la suite en plusieurs suites en suivant les opérations qui la composent.
Forme indéterminée
On appelle « forme indéterminée » une expression (somme, produit, quotient de suites) pour laquelle on ne peut pas trouver immédiatement la limite en se servant des opérations.
On notera en abrégé « FI ».
Dans le cas d'une FI, on cherchera à changer l'écriture de la forme pour lever l'indétermination.
La limite d'une somme de suites
Si une suite est constituée de la somme de deux suites, on peut, dans certains cas, déterminer la limite de la suite à partir des limites des suites qui la composent.
Soit (u_n) et (v_n) deux suites de réels et soit (w_n) la suite définie par w_n=u_n+v_n pour tout entier n pour lequel u_n et v_n sont définis.
Le tableau suivant récapitule les différents cas possibles de la limite de la suite (w_n), en fonction des limites des suites (u_n) et (v_n) :
\lim\limits_{n \to + \infty} n= + \infty
\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n}= 0
Par somme, on en déduit :
\lim\limits_{n \to + \infty} (n+\dfrac{1}{n})= + \infty
\lim\limits_{n \to + \infty} n^2= + \infty
\lim\limits_{n \to + \infty} (-n)= -\infty
Par somme, la limite \lim\limits_{n \to + \infty} (n^2-n) est une forme indéterminée.
Dans ce cas, il faudra changer l'écriture de cette somme pour lever l'indétermination.
On écrira n^2-n=n(n-1) et on se servira des propriétés sur la limite du produit de deux suites.
La limite d'un produit de suites
Si une suite est constituée du produit de deux suites, on peut, dans certains cas, déterminer la limite de la suite à partir des limites des suites qui la composent.
Soit (u_n) et (v_n) deux suites de réels et soit (w_n) la suite définie par w_n=u_n\times v_n pour tout entier n pour lequel u_n et v_n sont définis.
Le tableau suivant récapitule les différents cas possibles de la limite de la suite (w_n), en fonction des limites des suites (u_n) et (v_n) :
- \lim\limits_{n \to +\infty}n^2=+\infty
- \lim\limits_{n \to +\infty}n=+\infty donc \lim\limits_{n \to +\infty}(-n)=-\infty par produit.
Et par somme \lim\limits_{n \to +\infty}(-n+1)=-\infty
On en déduit que, par produit, \lim\limits_{n \to +\infty}n^2(-n+1)=-\infty
\lim\limits_{n \to +\infty}n^2=+\infty
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}=0
Par produit, la limite \lim\limits_{n \to +\infty}(n^2\times \dfrac{1}{n}) est une forme indéterminée.
On peut lever l'indétermination en changeant l'écriture de la suite :
\lim\limits_{n \to +\infty}(n^2\times \dfrac{1}{n})=\lim\limits_{n \to +\infty}n= +\infty
La limite d'un quotient de suites
Si une suite est constituée du quotient de deux suites, on peut, dans certains cas, déterminer la limite de la suite à partir des limites des suites qui la composent.
Soient (u_n) et (v_n) deux suites de réels et soit (w_n) la suite définie par w_n=\dfrac{u_n}{v_n} pour tout entier n pour lequel u_n et v_n sont définis et v_n\neq 0.
Le tableau suivant récapitule les différents cas possibles de la limite de la suite (w_n), en fonction des limites des suites (u_n) et (v_n) :
- \lim\limits_{n\to +\infty} n^2=+\infty
- \lim\limits_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{n}\right)=0 donc, par somme, \lim\limits_{n\to +\infty} \left(-5+\frac{1}{n}\right)=-5
Par quotient, on en déduit :
\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{n^2}{-5+\frac{1}{n}}=-\infty
\lim\limits_{n\to +\infty} \left(n^2+1\right)=+\infty
\lim\limits_{n\to +\infty} n^2=+\infty
Par quotient, la limite \lim\limits_{n\to +\infty} \frac{n^2+1}{n^2} est une forme indéterminée.
On peut lever l'indétermination en changeant l'écriture de la suite :
\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{n^2+1}{n^2}=\lim\limits_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)=1
Les théorèmes sur les limites de suites
On peut, dans certains cas, déterminer la limite d'une suite par comparaison avec d'autres suites.
Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles telles que u_n\leq v_n à partir d'un rang n_0.
- Si la suite (u_n) diverge vers +\infty, alors la suite (v_n) diverge vers +\infty.
- Si la suite (v_n) diverge vers -\infty, alors la suite (u_n) diverge vers -\infty.
Soient (u_n) et (v_n) les suites définies pour tout entier naturel n par :
u_n=n^2-1 et v_n=n^2+\sin(n)
Pour tout entier naturel n, on a :
-1\leqslant \sin\left(n\right)
Donc, pour tout entier naturel n, on a :
n^2-1\leqslant n^2+\sin\left(n\right)
Ainsi :
- u_n\leq v_n pour tout entier naturel n ;
- \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty.
Par comparaison, on en déduit :
\lim\limits_{n\to +\infty}v_n=+\infty
Théorème dit « des gendarmes »
Soient trois suites réelles (u_n), (v_n) et (w_n) et soit un réel \ell tels que :
- u_n\leq v_n\leq w_n à partir d'un rang n_0 ;
- \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\lim\limits_{n\to +\infty}w_n=\ell.
Alors la suite (v_n) converge, et
\lim\limits_{n\to +\infty}v_n=\ell
Soit une suite réelle (u_n) telle que pour tout entier naturel n :
\dfrac{-2}{n+1}\leqslant u_{n}\leqslant\dfrac{2}{n+1}
\lim\limits_{n\to +\infty}(n+1)=+\infty donc \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0.
On en déduit que \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{2}{n+1}=\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{-2}{n+1}=0.
D'après le théorème « des gendarmes », la suite (u_n) converge et \lim\limits_{n\to +\infty} u_{n}=0.
Le nom du théorème correspond à l'image suivante : si un voleur est menotté à deux gendarmes qui vont au même endroit, le voleur y va également.
Limite d'une suite arithmétique
On doit connaître en particulier les propriétés sur les limites des suites arithmétiques ; elles dépendent du signe de la raison de la suite.
Rappel
Soit (u_{n}) une suite arithmétique de raison r, définie sur \mathbb{N}.
On a, pour tout entier naturel n : u_{n}=u_{0}+n\times r.
Si la suite (u_{n}) est définie à partir d'un indice p, on a pour tout entier naturel n\geqslant p : u_{n}=u_{p}+(n-p)\times r.
- (u_{n}) est une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme u_{0}=-5.
On en déduit que pour tout entier naturel n :
u_{n}=u_{0}+n \times r = -5+4n
- (v_{n}) est une suite arithmétique de raison -\dfrac{1}{2} et de premier terme v_{2}=1.
On en déduit que pour tout entier naturel n\geqslant 2 :
v_{n}=v_{2}+(n-2)\times r = 1 - \dfrac{1}{2}(n-2)=2-\dfrac{1}{2}n
Soit (u_{n}) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u_p.
- Si r \gt 0, alors \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=+\infty et la suite (u_{n}) diverge.
- Si r \lt 0, alors \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=-\infty et la suite (u_{n}) diverge.
- Si r=0, la suite (u_{n}) est une suite constante. Tous ses termes sont égaux au premier terme u_{p}.
Dans ce cas seulement, la suite converge et \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=u_{p}.
Soit (u_{n}) la suite arithmétique de raison 4 et de premier terme u_{0}=-5.
r=4 donc r \gt 0.
On en déduit que la suite (u_{n}) diverge et que \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=+\infty.
(v_{n}) est la suite arithmétique de raison -\dfrac{1}{2} et de premier terme v_{2}=1.
Ici, r=-\dfrac{1}{2} donc r \lt 0.
On en déduit que la suite (v_{n}) diverge et que sa limite est -\infty.
On note \lim\limits_{n \to +\infty}v_{n}=-\infty.
Limite d'une suite géométrique
On doit connaître en particulier les propriétés sur les limites des suites géométriques ; elles dépendent de la valeur de raison de la suite.
Rappel
- Soit (u_{n}) une suite géométrique de raison q, définie sur \mathbb{N}.
La suite (u_{n}) est définie de manière explicite par :
Pour tout entier naturel n, u_{n}=u_{0}\times q^{n}.
- Dans le cas où la suite géométrique de raison q est définie à partir d'un indice p, alors :
Pour tout entier naturel n\geqslant p, u_{n}=u_{p}\times q^{n-p}.
- (u_{n}) est la suite géométrique de raison \dfrac{1}{4} et de premier terme u_{0}=-5.
On en déduit que pour tout entier naturel n :
u_{n}=u_{0}\times q^{n}=-5\times(\dfrac{1}{4})^{n}
- (v_{n}) est la suite géométrique de raison 2 et de premier terme v_{1}=10{,}5.
On en déduit que pour tout entier naturel n\geqslant 1 :
v_{n}=v_{1}\times q^{n-1} = 10{,}5 \times 2^{n-1}
Limite d'une suite géométrique de raison positive
Soit un réel q positif et (u_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par u_n=q^n.
- Si q=0, alors la suite (u_n) est constante. Tous ses termes sont nuls et elle converge vers 0.
- Si 0 \lt q \lt 1, alors la suite (u_n) converge vers 0.
- Si q=1, alors la suite (u_n) est constante. Tous ses termes sont égaux à 1 : la suite converge vers 1.
- Si q>1, la suite (u_n) diverge vers +\infty.
On peut synthétiser cette propriété par le tableau ci-dessous :
| q | q=0 | 0 \lt q \lt 1 | q=1 | q \gt 1 |
|---|---|---|---|---|
| \lim\limits_{n \to +\infty} q^n | \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0 | \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0 | \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=1 | \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+ \infty |
Soit (u_n) la suite définie sur \mathbb{N} par u_{n}=(\dfrac{4}{3})^n.
(u_n) est de la forme q^{n} avec q=\dfrac{4}{3}.
Comme q>1, on a :
\lim\limits_{n\to +\infty} q^n=+ \infty
Donc :
\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+ \infty
(v_{n}) est la suite géométrique de premier terme v_{0}=-3 et de raison q=\dfrac{1}{4}.
On cherche \lim\limits_{n \to +\infty} v_{n}.
On sait que, pour tout entier naturel n, v_{n}=v_{0} \times q^{n} =-3\times(\dfrac{1}{4})^n.
0 \lt \dfrac{1}{4} \lt 1 donc \lim\limits_{n \to +\infty} (\dfrac{1}{4})^n=0.
Ainsi \lim\limits_{n \to +\infty} v_{n} = -3\times0=0.
Limite de la somme des premiers termes d'une suite géométrique
Rappel
(u_{n}) est une suite géométrique de premier terme u_{0} et de raison q.
On appelle somme des (n+1) premiers termes de cette suite le nombre S_{n}=u_{0}+u_{1}+...+u_{n-1}+u_{n}.
On a :
S_{n}=u_{0}\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
Soit (u_{n}) la suite définie sur \mathbb{N} par u_{n}=-3\times (\dfrac{1}{2})^n.
(u_{n}) est la suite géométrique de raison q=\dfrac{1}{2} et de premier terme u_{0}=-3.
La somme de ses (n+1) premiers termes est :
S_{n}=u_{0}+u_{1}+...+u_{n-1}+u_{n}=u_{0}\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
Ainsi, S_{n}=-3 \times\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}}.
On en déduit que S_{n}=-3 \times\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}}{\dfrac{1}{2}}=-6(1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}).
(u_{n}) est une suite géométrique de raison q telle que 0 \leqslant q \lt 1 et de premier terme u_{0}.
Pour tout entier naturel n, on note S_{n} la somme des (n+1) premiers termes de (u_{n}).
La suite (S_{n}) converge vers \dfrac{u_{0}}{1-q}.
On note :
\lim\limits_{n \to +\infty} S_{n}=\dfrac{u_{0}}{1-q}
(u_{n}) est une suite géométrique de premier terme u_{0} et de raison q telle que 0\leqslant q \lt 1.
La somme S_{n} des (n+1) premiers termes de cette suite est S_{n}=u_{0}\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
0 \leqslant q \lt 1 donc \lim\limits_{n \to +\infty} q^{n}=0
En utilisant la limite d'un produit :
\lim\limits_{n \to +\infty} q^{n+1}=\lim\limits_{n \to +\infty} q \times q^{n}=q\times0 =0
Ainsi \lim\limits_{n \to +\infty} (1-q^{n+1})=1
En utilisant la limite d'un produit, on a donc :
\lim\limits_{n \to +\infty} S_{n}=\dfrac{u_{0}}{1-q}
(v_{n}) est la suite géométrique de raison q=0{,}85 et de premier terme v_{0}=1 \ 000.
La somme de ses (n+1) premiers termes est S_{n}=v_{0} \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=1\ 000\times\dfrac{1-0{,}85^{n+1}}{1-0{,}85}
Comme 0 \lt 0{,}85 \lt 1, \lim\limits_{n \to +\infty} S_{n}=\dfrac{v_{0}}{1-q}=\dfrac{1\ 000}{1-0{,}85}=\dfrac{1\ 000}{0{,}15}.
En conclusion, \lim\limits_{n \to +\infty} S_{n}=\dfrac{20\ 000}{3}.
Suites arithmético-géométriques
Les suites arithmético-géométriques sont très utiles pour étudier par exemple les variations et les limites d'une population donnée. Elles suivent une relation de récurrence semblable à une relation affine.
Suite arithmético-géométrique
On appelle suite arithmético-géométrique toute suite (u_{n}) définie par :
- la donnée de son premier terme u_{p}, où p est un entier naturel ;
- et la relation de récurrence :
pour tout entier naturel n\geqslant p, u_{n+1}=a\ u_{n}+b où a et b sont deux nombres réels donnés.
On considère la suite (u_{n}) définie par \begin{cases} u_{0}=-2 \cr \cr u_{n+1}=1{,}5\ u_{n}-1 \text{ pour tout entier naturel } n \end{cases}
(u_{n}) est une suite arithmético-géométrique avec a=1{,}5 et b=-1. Son premier terme est u_{0}=-2.
On peut calculer les trois termes suivants, en substituant n par 0, puis 1 puis 2 dans la relation de récurrence u_{n+1}=1{,}5\ u_{n}-1 :
u_{1}=1{,}5\ u_{0}-1=1{,}5\times(-2)-1=-4 :
u_{2}=1{,}5\ u_{1}-1=1{,}5\times(-4)-1=-7
u_{3}=1{,}5\ u_{2}-1=1{,}5\times(-7)-1=-11{,}5
Une suite arithmético-géométrique définie par la relation de récurrence u_{n+1}=a\ u_{n}+b est :
- une suite arithmétique dans le cas particulier où a=1. Sa raison est alors b.
- une suite géométrique dans le cas particulier où b=0. Sa raison est alors a.
On suppose dans ce qui suit que a\neq 1 et b\neq0.
a et b sont deux nombres réels donnés.
(u_{n}) est une suite arithmético-géométrique de premier terme u_{0} et définie pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence : u_{n+1}=a\ u_{n}+b.
Alors :
- La suite (u_{n}) est définie par son premier terme et, pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence u_{n+1}=f(u_{n}) où f est la fonction affine définie sur \mathbb{R} par f(x)=ax+b.
- Dans un repère, et pour tout entier naturel n, u_{n+1} est l'ordonnée du point de la droite y=ax+b d'abscisse u_{n}.
On considère la suite (v_{n}) définie sur \mathbb{N} par : \begin{cases} v_{0}=4 \cr \cr v_{n+1}=0{,}5\ v_{n}+1 \end{cases}
La relation de récurrence est de la forme v_{n+1}=a\ v_{n}+b avec a=0{,}5 et b=1 : (v_{n}) est une suite arithmético-géométrique.
La relation de récurrence peut s'écrire v_{n+1}=f(v_{n}) où f est la fonction affine définie sur \mathbb{R} par f: x\longmapsto 0{,}5x+1.
Pour tout entier naturel n, le point de coordonnées (v_{n} ; v_{n+1}) appartient à la droite y=0{,}5x+1 représentant f dans un repère du plan.
Afin de trouver les termes successifs de la suite arithmético-géométrique (u_{n}) définie par son premier terme u_{0} et pour tout entier naturel n par u_{n+1}=a\ u_{n}+b, on peut utiliser sa représentation dans un repère orthonormé.
Pour cela, on va utiliser la représentation graphique de la fonction f: x\longmapsto ax+b et la droite d'équation y=x :
- on trace la droite d'équation y=ax+b ;
- on place u_{0} sur l'axe des abscisses et on détermine son image u_{1}=f(u_{0}) sur l'axe des ordonnées ;
- on utilise la droite y=x pour reporter u_{1} sur l'axe des abscisses ;
- on recommence les opérations précédentes à partir de u_{1} pour obtenir u_{2} sur l'axe des ordonnées puis le reporter sur l'axe des abscisses ;
- etc.
On veut représenter dans un repère orthonormé la suite arithmético-géométrique (v_{n}) définie par son premier terme v_{0}=4 et pour tout entier naturel n par v_{n+1}=0{,}5\ v_{n}+1.
Dans ce repère, on trace les deux droites d'équations respectives y=0{,}5x+1 et y=x.
Représentation sur l'axe des abscisses des 5 premiers termes de la suite (v_{n})
On observe que les valeurs de la suite semblent s'approcher du nombre 2 : on conjecture que \lim\limits_{n \to + \infty} v_{n}=2.