Soit k un réel et f la fonction définie sur \left[ 50;75 \right] par :
f\left(x\right)=k
Quelle est la valeur de k qui fait de f une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Continuité de f
x\longmapsto k est continue sur \left[ 50;75 \right] quelle que soit la valeur de k.
Valeur de l'intégrale
Une primitive de x\longmapsto k sur \left[ 50;75 \right] est x \longmapsto kx.
Ainsi, on obtient :
\int_{50}^{75} f\left( x \right) \ \mathrm dx=\int_{50}^{75} k \ \mathrm dx=\left[ kx \right]_{50}^{75}
\int_{50}^{75} f\left( x \right) \ \mathrm dx= 75k-50k
\int_{50}^{75} f\left( x \right) \ \mathrm dx = 25k
Donc, \int_{50}^{75} f\left( x \right) \ \mathrm dx=1 si et seulement si 25k=1 soit k=\dfrac{1}{25}.
Signe de f
Posons alors k=\dfrac{1}{25}.
On obtient, pour tout x appartenant à \left[ 50;75 \right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{25}.
On a bien f\left(x\right)\geq0 sur \left[ 50;75 \right].
Si k=\dfrac{1}{25}, f est une densité de probabilité.
Dans la suite de l'exercice, k prend la valeur trouvée en fin de question 1 et on note X une variable aléatoire admettant la fonction f pour densité de probabilité.
Quelle est la valeur de p\left(X\leqslant60\right) ?
La densité f de X est définie sur \left[ 50;75 \right], et, pour tout x appartenant à \left[ 50;75 \right] :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{25}.
Ainsi :
p\left( X\leq60\right)=\int_{50}^{60}\dfrac{1}{25}\ \ \mathrm dx
Et, comme une primitive de x\longmapsto \dfrac{1}{25} sur \left[ 50;75 \right] est x \longmapsto \dfrac{x}{25} :
p\left( X\leq60\right)=\left[ \dfrac{x}{25} \right]_{50}^{60}
p\left( X\leq60\right)=\dfrac{60}{25}-\dfrac{50}{25}
p\left( X\leq60\right)=\dfrac{10}{25}
On peut donc conclure :
p\left(X\leqslant60\right)= \dfrac{2}{5}
Soient a et b deux réels. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire Y de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left( Y \right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Quelle est la valeur de E\left(X\right) ?
On a :
E\left(X\right)=\int_{50}^{75} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{50}^{75} \dfrac{x}{25} \ \mathrm dx
Une primitive de x\longmapsto \dfrac{x}{25} sur \left[ 50;75 \right] étant x \longmapsto \dfrac{x^2}{50} :
E\left(X\right)=\left[ \dfrac{x^2}{50}\right]_{50}^{75}
E\left(X\right)=\dfrac{75^2}{50} -\dfrac{50^2}{50}
E\left(X\right)=\dfrac{3*75}{2}-50
E\left(X\right)=\dfrac{225}{2}-\dfrac{100}{2}
On peut alors conclure :
E\left(X\right)= \dfrac{125}{2}