Soit k un réel et f la fonction définie sur \left[ 1;3 \right] par :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2}+k
Quelle est la valeur de k qui fait de f une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Continuité de f
x\longmapsto \dfrac{1}{x^2}+k est continue sur \left[ 1;3 \right] quelle que soit la valeur de k.
Valeur de l'intégrale
Une primitive de x\longmapsto \dfrac{1}{x^2}+k sur \left[ 1;3 \right] est x \longmapsto -\dfrac{1}{x}+kx.
Ainsi, on obtient :
\int_{1}^{3} f\left( x \right) \ \mathrm dx=\int_{1}^{3}\left( \dfrac{1}{x^2}+k \right) \ \mathrm dx=\left[ -\dfrac{1}{x}+kx \right]_{1}^{3}
\int_{1}^{3} f\left( x \right) \ \mathrm dx= \left( -\dfrac{1}{3}+3k \right)- \left( -\dfrac{1}{1}+k \right)
\int_{1}^{3} f\left( x \right) \ \mathrm dx=-\dfrac{1}{3}+1+2k
\int_{1}^{3} f\left( x \right) \ \mathrm dx=\dfrac{2}{3}+2k
Donc, \int_{1}^{3} f\left( x \right) \ \mathrm dx=1 si et seulement si \dfrac{2}{3}+2k=1 soit si et seulement si k=\dfrac{1}{6}.
Signe de f
Posons alors k=\dfrac{1}{6}.
On obtient, pour tout x appartenant à \left[ 1;3 \right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{6}.
On a bien f\left(x\right)\geq0 sur \left[ 1;3 \right].
Si k=\dfrac{1}{6}, f est une densité de probabilité.
Dans la suite de l'exercice, k prend la valeur trouvée en fin de question 1 et on note X une variable aléatoire admettant la fonction f pour densité de probabilité.
Quelle est la valeur de p\left(X\leqslant2\right) ?
La densité f de X est définie sur \left[ 1;3 \right], et, pour tout x appartenant à \left[ 1;3 \right] :
f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{6}.
Ainsi :
p\left( X\leq2\right)=\int_{1}^{2}\left( \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{6} \right) \mathrm dx
Et, comme une primitive de x\longmapsto \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{6} sur \left[ 1;3 \right] est x \longmapsto -\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{6} :
p\left( X\leq2\right)=\left[ -\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{6} \right]_{1}^{2}
p\left( X\leq2\right)=\left( -\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{6} \right)-\left( -\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{6} \right)
p\left( X\leq2\right)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{6}+1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}
On peut donc conclure :
p\left(X\leqslant2\right)= \dfrac{2}{3}
Soient a et b deux réels. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire Y de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left( Y \right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Quelle est la valeur de E\left(X\right) ?
On a :
E\left(X\right)=\int_{1}^{3} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{1}^{3} x\left( \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{6} \right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{1}^{3} \left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{6} \right) \ \mathrm dx
Une primitive de x\longmapsto \dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{6} sur \left[ 1;3 \right] étant x \longmapsto \ln\left(x\right)+\dfrac{x^2}{12} :
E\left(X\right)=\left[ \ln\left(x\right)+\dfrac{x^2}{12} \right]_{1}^{3}
E\left(X\right)= \left(\ln\left(3\right)+\dfrac{3^2}{12} \right)- \left(\ln\left(1\right)+\dfrac{1^2}{12} \right)
E\left(X\right)=\ln\left(3\right)+\dfrac{9}{12} -\ln\left(1\right)-\dfrac{1}{12}
E\left(X\right)=\ln\left(3\right)+\dfrac{8}{12} car \ln\left(1\right)=0
On peut alors conclure :
E\left(X\right)=\ln\left(3\right)+\dfrac{2}{3}