Soient k un réel et f la fonction définie sur \left[ 0;1 \right] par f\left(x\right)=\dfrac{1}{13}x+k.
Quelle est la valeur de k qui fait de f une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Continuité de f
x\longmapsto \dfrac{1}{13}x+k est continue sur \left[ 0;1 \right] quelle que soit la valeur de k.
Valeur de l'intégrale
Une primitive de x\longmapsto \dfrac{1}{13}x+k sur \left[ 0;1 \right] est x \longmapsto \dfrac{x^2}{26}+kx.
Ainsi, on obtient :
\int_{0}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx=\int_{0}^{1} \left( \dfrac{1}{13}x+k \right) \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{x^2}{26}+kx \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx=\left(\dfrac{1}{26}+k\right) - 0
\int_{0}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx=\dfrac{1}{26}+k
Donc, \int_{0}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx=1 si et seulement si \dfrac{1}{26}+k=1 soit k=\dfrac{25}{26}.
Signe de f
Posons alors k=\dfrac{25}{26}.
On a alors, pour tout x appartenant à \left[ 0;1 \right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{13}x+\dfrac{25}{26}.
On vérifie que f\left(x\right)\geq0 sur \left[ 0;1 \right].
\dfrac{1}{13}x+\dfrac{25}{26}\geq0
\Leftrightarrow \dfrac{1}{13}x\geq -\dfrac{25}{26}
\Leftrightarrow x\geq -\dfrac{25}{2}
On a bien f\left(x\right)\geq0 sur \left[ 0;1 \right].
Si k=\dfrac{25}{26}, f est une densité de probabilité.
Dans la suite de l'exercice, k prend la valeur trouvée en fin de question 1 et on note X une variable aléatoire admettant la fonction f pour densité de probabilité.
Quelle est la valeur de p\left( X\leq \dfrac{1}{2}\right) ?
La densité f de X est définie sur \left[ 0;1 \right]. De plus, pour tout x appartenant à \left[ 0;1 \right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{13}x+\dfrac{25}{26}.
Ainsi :
p\left( X\leq \dfrac{1}{2}\right)=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \dfrac{1}{13}x+\dfrac{25}{26} \right) \ \mathrm dx
Et, comme une primitive de x\longmapsto \dfrac{1}{13}x+\dfrac{25}{26} sur \left[ 0;1 \right] est x \longmapsto \dfrac{x^2}{26}+\dfrac{25x}{26} :
p\left( X\leq \dfrac{1}{2}\right)=\left[ \dfrac{x^2}{26}+\dfrac{25x}{26} \right]_{0}^{\frac{1}{2}}
p\left( X\leq \dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{26}+\dfrac{25\left(\dfrac{1}{2}\right)}{26} -0
p\left( X\leq \dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{1}{104}+\dfrac{25}{52}
p\left( X\leq \dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{1}{104}+\dfrac{50}{104}
On peut donc conclure :
p\left( X\leq \dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{51}{104}
Soient a et b deux réels. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire Y de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left( Y \right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Quelle est la valeur de E\left(X\right) ?
On a :
E\left(X\right)=\int_{0}^{1} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{0}^{1} x\left( \dfrac{1}{13}x+\dfrac{25}{26} \right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{0}^{1} \left(\dfrac{x^2}{13}+\dfrac{25x}{26} \right) \ \mathrm dx
Une primitive de x\longmapsto \dfrac{x^2}{13}+\dfrac{25x}{26} sur \left[ 0;1 \right] est x \longmapsto \dfrac{x^3}{39}+\dfrac{25x^2}{52}.
E\left(X\right)=\left[ \dfrac{x^3}{39}+\dfrac{25x^2}{52}\right]_{0}^{1}
E\left(X\right)= \dfrac{1}{39}+\dfrac{25}{52}
E\left(X\right)= \dfrac{4}{156}+\dfrac{75}{156}
E\left(X\right)= \dfrac{79}{156}