Droites des réels et valeur absolueCours

I

Intervalles réels

A

Introduction

On peut représenter les nombres réels par un axe gradué, appelé « droite des réels ».

On peut utiliser cet axe pour comparer des nombres réels.

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Le nombre x placé sur cet axe est plus grand que \dfrac 1 3 mais plus petit que 1.

On peut écrire \dfrac 1 3\le x\le 1.

Sur cette droite des réels, on peut également représenter des ensembles de nombres.

Par exemple, ci-dessous, on représente l'ensemble de tous les nombres réels x tels que \dfrac 1 3<x\le 1.

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  • Le trait rouge du milieu représente tous les nombres réels entre \dfrac 1 3 et 1.
  • Le crochet en \dfrac 1 3 est tourné vers l'extérieur, cela veut dire que \dfrac 1 3 n'est pas inclus dans l'ensemble.
  • Le crochet en 1 est tourné vers l'intérieur, cela veut dire que 1 est inclus dans l'ensemble.

 

Un tel ensemble s'appelle un intervalle.

B

Définition d'un intervalle

Intervalle réel

Un intervalle réel est l'ensemble de tous les nombres réels compris entre deux nombres réels a et b qui sont appelés les bornes de l'intervalle.

On le note \left[a;b\right], \left[ a;b \right[, \left]a;b\right] ou  \left]a;b\right[ selon qu'on inclut les bornes ou pas. 

L'intervalle \left[4;5\right[ est l'ensemble des nombres réels x tels que 4\le x<5.

La notation avec les crochets correspond à la représentation graphique sur la droite des réels.

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Dire qu'un nombre réel x est dans un intervalle revient à donner un encadrement de x.

Écrire x\in \left[4;5\right[ veut dire « 4\le x<5 ».

Bornes inférieure et supérieure

La plus petite des deux bornes est appelé « borne inférieure ».

La plus grande des deux bornes est appelée « borne supérieure ».

Intervalles ouvert, fermé, semi-ouvert

  • Quand on inclut les deux bornes, on dit que l'intervalle est fermé.
  • Quand on exclut les deux bornes, on dit que l'intervalle est ouvert.
  • Quand on inclut une borne et exclut l'autre, on dit que l'intervalle est semi-ouvert.
  • \left[3;4\right] est un intervalle fermé.
  • \left]3;4\right[ est un intervalle ouvert.
  • \left[3;4\right[ est un intervalle semi-ouvert.
C

Notation + \infty et -\infty

Parfois, au lieu d'encadrer un nombre réel x entre deux nombres réels, on veut le limiter d'un seul côté. C'est le cas par exemple lorsque l'on veut parler de l'ensemble des nombres plus grands ou plus petits qu'une valeur donnée.

On souhaite dire « x\ge 3 », c'est-à-dire « x plus grand que 3 », mais il n'y a pas de borne supérieure.

On peut alors tout de même utiliser la notation des intervalles en utilisant le signe « \bf{\infty} » qui veut dire « infini ».

  • +\infty représente « plus l'infini » : on va à l'infini dans les positifs (vers la droite sur l'axe des réels).
  • -\infty représente « moins l'infini » : on va à l'infini dans les négatifs (vers la gauche sur l'axe des réels).
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Pour exprimer x\ge 3, on dit alors qu'on va de 3 à « +\infty ».

Cet intervalle se note \left[3 ;+\infty \right[.

On ne peut jamais inclure +\infty ou -\infty dans l'intervalle, car ce n'est pas un vrai nombre. La borne +\infty ou -\infty est donc toujours ouverte, et le crochet toujours vers l'extérieur dans ce cas.

  • \left]-\infty ; 4\right] correspond à x\le 4 .
  • \left]2 ; +\infty\right[ correspond à x>2 .

L'intervalle  \left]-\infty;+\infty\right[  correspond à l'ensemble de tous les réels. Autrement dit :

\left]-\infty;+\infty\right[=\mathbb{R}

D

Union et intersection d'intervalles

1

Intersection de deux intervalles

Intersection d'intervalles

Soit I et J deux intervalles.

On appelle intersection de I et J, notée I\cap J, l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à la fois à I et à J.

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L'intersection est aussi un intervalle, et il peut être ouvert, fermé ou semi-ouvert.

Sur la représentation ci-dessus, I et J sont deux intervalles fermés et leur intersection est aussi un intervalle fermé.

\left[ 2;4 \right[ \cap \left[ 3;5 \right] = \left[ 3;4\right[

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4 appartient à [3;5] mais pas à ]2;4[. Il n'est donc pas inclus dans l'intersection.

 [4;5[\cap [2:3]=\emptyset , où \emptyset désigne un ensemble vide. En effet, aucun nombre n'est dans les deux intervalles à la fois.

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2

Union de deux intervalles

Union d'intervalles

Soit I et J deux intervalles.

On appelle union de I et J, notée I\cup J, l'ensemble des nombres qui sont dans I ou dans J.

\left[2;4\right[\cup \left[3;5\right[=\left[2:5\right[

-

Si un nombre est à la fois dans I et J, il est aussi dans l'union.

Donc on peut écrire I\cap J \subset I\cup J qui se lit « L'intersection de I et J est incluse dans l'union de I et J ».

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Contrairement à ce qu'il se passe pour l'intersection, l'union de deux intervalles n'est pas forcément un intervalle

Par exemple, l'union des deux intervalles ci-dessous n'est pas un intervalle.

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II

Distance et valeur absolue

A

Distance entre deux nombres réels

Distance entre deux réels

Soient a et b deux nombres réels.

On appelle distance de a à b, notée d\left(a;b\right), la distance entre les abscisses des points représentants a et b sur la droite des réels.

Elle se calcule en faisant la différence entre le plus grand et les plus petit des deux nombres.

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La distance de a à b est la même que la distance de b à a.

Autrement dit :  d\left(a;b\right)=d\left(b;a\right).

-

Comme 5 est plus grand que 2, la distance entre 2 et 5 est 5-2=3.

Pour formaliser la définition, notamment lorsqu'on ne connaît pas encore la valeur de a ou de b, on peut écrire :

d\left(a;b\right)=\left \{ \begin{array}{rcl} {b-a\ \text{ si }\ b\ge a} \\{a-b\ \text{ si }\ b\le a} \end{array} \right.

Soit x un nombre réel.

La distance entre x et 4 se formalise  d\left(x;4\right)=\left \{ \begin{array}{rcl} {x-4\ \text{ si }\ x\ge 4} \\{4-x\ \text{ si }\ x\le 4} \end{array} \right..

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Cependant, cette manière d'écrire la distance entre deux nombres n'est pas très pratique, on va donc utiliser une notation dédiée.

B

Valeur absolue

Valeur absolue

Soit x un nombre réel.

La valeur absolue de x, notée |x|, est la distance entre x et 0.

|-5| est la distance entre −5 et 0.

La valeur absolue d'un nombre est toujours positive.

Soit x un nombre réel.

La valeur absolue de x se calcule ainsi :

|x|=\left \{ \begin{array}{rcl} {x\ \text{ si }\ x\ge 0} \\{-x\ \text{ si }\ x\le 0} \end{array} \right.

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  • |3|=3 car 3 est positif, donc a distance entre 3 et 0 est égale à 3.
  • |−11|=-(−11)=11 car −11 est négatif, mais la distance entre −11 et 0 est égale à 11.
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La valeur absolue d'un nombre est bien toujours positive, même quand elle s'écrit |x|=-x, car l'opposé d'un nombre négatif est positif.

De façon plus générale, on peut utiliser la valeur absolue pour exprimer la distance entre deux nombres réels.

Soit a et b deux nombres réels.

La distance entre a et b est égale à |b-a|.

-

D'après la formule de calcul de la valeur absolue :

|b-a|=\left \{ \begin{array}{rcl} {b-a \ \text{ si }\ b-a\ge 0} \\{-\left(b-a\right)\ \text{ si }\ b-a\le 0} \end{array} \right.

Autrement dit : |b-a|=\left \{ \begin{array}{rcl} {b-a\ \text{ si }\ b\ge a} \\{a-b\ \text{ si }\ b\le a} \end{array} \right.

On retrouve bien la définition de la distance entre a et b.

Si a et b sont tous les deux non nuls, |a-b|\neq |a|-|b|.

On pose a=2 et b=−5.

D'une part : |a-b| = |2-(−5)|=|2+5|=|7|=7 .

D'autre part : |a|-|b| = |2|-|−5|=2−5=−3 .

On a bien |2-(−5)|\ \neq \ |2|-|−5| .

III

Résoudre une équation ou une inéquation avec une valeur absolue

A

Équation de type |x-a|=b

Soit a et b des nombres réels fixés.

On considère l'équation |x-a| = b, où x est un nombre réel.

Comme |x-a| est la distance entre x et a, les solutions de l'équation sont les nombres réels qui se situent à une distance de a égale à b.

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On a donc deux solutions possibles :

x=a-b  ou x=a+b

On cherche les nombres réels x qui vérifient l'équation |x-2|=3.

|x-2| est la distance entre x et 2, on cherche donc les nombres qui sont à une distance du nombre 2 égale à 3 :

-

Il y a deux possibilités :

  • 2-3=-1

  • 2+3=5

On a donc deux solutions : x=-1 et x=5.

B

Inéquation de type |x-a|\le b

Soit a et b des nombres réels fixés.

On considère l'inéquation  |x-a| \leqslant b, où x est un nombre réel.

Comme |x-a| est la distance entre x et a, les solutions de l'inéquation sont les nombres réels qui se situent à une distance de a inférieure ou égale à b.

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Tous les nombres de l'intervalle représenté en rouge vérifient la condition, y compris les bornes  a-b et a+b.

L'ensemble des solutions est donc l'intervalle \left[ a-b;a+b\right].

On cherche les nombres réels x qui sont solutions de l'équation |x-2|\leq3.

|x-2| est la distance entre x et 2, on cherche donc les nombres situés à une distance du nombre 2 inférieure ou égale à 3.

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  • À gauche de 2, on a 2−3 = −1.

  • À droite de 2, on a 2+3 = 5.

  • Tous les nombres compris entre −1 et 5 vérifient l'équation.

  • −1 et 5 la vérifient aussi.

 

L'ensemble des solutions est donc l'intervalle [−1;5].

On peut résoudre sur le même principe l'inéquation |x-a|<b. La seule différence est qu'il ne faut alors pas inclure les bornes dans l'intervalle car elles ne vérifient plus la condition.

L'ensemble des solutions de l'équation |x−2|<3 est l'intervalle \left]−1;5\right[.