Les ensembles de nombres Cours

Sommaire

ILes nombres entiersALes entiers naturelsBLes entiers relatifsIILes nombres décimauxIIILes nombres rationnelsIVLes nombres irrationnelsVLes nombres réelsVIRelation entre les ensembles
I

Les nombres entiers

A

Les entiers naturels

Entier naturel

Un entier naturel est un entier positif.

0, 1, 2, 3 sont des entiers naturels.

Ensemble des entiers naturels

L'ensemble des entiers naturels est noté  \mathbb{N} .

Pour dire « n est un nombre entier naturel », on notera «  n \in \mathbb{N}  ».

L'addition et la multiplication de deux entiers naturels est un entier naturel.

5 + 3 = 8 est un entier naturel. 

5 \times 3 = 15  est un entier naturel.

Cela ne marche pas avec la soustraction ou la division.

2-5=-3  n'est pas un entier naturel.

B

Les entiers relatifs

Entier relatif

Un entier relatif est un entier quelconque, positif ou négatif.

0, 1, 2, 3 mais aussi −1, −2, −3 sont des entiers relatifs.

Ensemble des entiers relatifs

L'ensemble des entiers relatifs est noté  \mathbb{Z} .

Pour dire « n est un nombre entier relatif », on notera «  n \in \mathbb{Z}  ».

Un entier naturel est un cas particulier d'entier relatif.

L'addition, la soustraction et la multiplication de deux entiers relatifs est un entier relatif.

5 + \left(-3\right) = 2  est un entier relatif.

2 – 3 = -1 est un entier relatif.

2 \times \left(-3\right) = -6 est un entier relatif.

Le quotient de deux entiers relatifs n'est pas forcément un nombre relatif.

\dfrac{5}{\left(-2\right)}=-2,5  n'est pas un entier relatif.

II

Les nombres décimaux

Nombre décimal

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

1,32 est un nombre décimal.

On dit qu'il a une partie décimale finie.

En multipliant un nombre décimal un certain nombre de fois par 10, on obtient un nombre entier. Un nombre décimal peut donc toujours s'écrire sous forme d'une fraction décimale (c'est-à-dire une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10).

1,32 = \dfrac{132}{100}

On obtient ainsi la définition suivante :

Nombre décimal

x est un nombre décimal si et seulement si il existe deux entiers relatifs  k et p tels que :

x=\dfrac{k}{10^p}

\dfrac{3}{10}  est un nombre décimal.

4 est un nombre décimal, car 4=\dfrac{4}{1}=\dfrac{4}{10^0}.

0,075 est un nombre décimal, car 0,075=\dfrac{75}{1000}=\dfrac{75}{10^3}.

\dfrac{1}{3}=0,3333...  n'est pas un nombre décimal. Il a un nombre infini de chiffres après la virgule et on ne peut pas l'écrire sous forme de fraction décimale.

Ne pas confondre les puissances de 10 et les multiples de 10 :

  • 10, 100, 1000, 10 000, etc., sont des puissances de 10.
  • 20, 30, 40, 50 ne sont pas des puissances de 10.

Les nombres entiers sont des cas particuliers de nombres décimaux, leur partie décimale est nulle.

Ensemble des décimaux

L'ensemble des nombres décimaux est noté  \mathbb{D} .

L'addition, la soustraction et la multiplication de deux nombres décimaux est encore un nombre décimal.

\dfrac {5}{10} \times \dfrac {3}{10}=\dfrac {15}{100}  est un nombre décimal.

1,2+2,4-3,57=0,03  est un nombre décimal.

Le quotient de deux nombres décimaux n'est pas forcément un nombre décimal.

\dfrac{\dfrac{5}{10}}{\dfrac{3}{10}}=\dfrac{5}{3}=1,666666...  n'est pas un nombre décimal.

III

Les nombres rationnels

Certains nombres ont un nombre infini de chiffre après la virgule : ces nombres ne sont donc pas des nombres décimaux.

Néanmoins, qu'un nombre soit décimal ou pas, si on peut l'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers relatifs, on dit que ce nombre est rationnel.

Nombre rationnel

Un nombre x est rationnel si et seulement si il existe deux entiers relatifs p et q tels que :

x=\dfrac{p}{q}  (avec  q\neq0  )

\dfrac{1}{3}  est un nombre rationnel car c'est une fraction de deux entiers relatifs, 1 et 3.

\dfrac{3,4}{5,2}  est un nombre rationnel car \dfrac{3,4}{5,2}=\dfrac{3,4 \times 10}{5,2 \times 10}=\dfrac{34}{52}.

0,346 est un nombre rationnel car 0,346=\dfrac{346}{100}.

−2 est un nombre rationnel car -2=\dfrac{-2}{1}.

Les nombres décimaux sont des cas particuliers de nombres rationnels, puisque les puissances de 10 sont des entiers relatifs.

Ensemble des rationnels

L'ensemble des nombres rationnels est noté  \mathbb{Q} .

Un nombre rationnel peut avoir une partie décimale finie ou infinie.

Lorsqu'un nombre rationnel a une partie décimale infinie, elle est périodique, c'est-à-dire que le même enchaînement de chiffres se répète à l'infini.

\dfrac {5}{7} = 0,\textcolor{Blue}{714285}\textcolor{Red}{714285}\textcolor{Green}{714285}\textcolor{Purple}{714285}...  a un nombre infini de chiffres après la virgule, mais avec la période «  714285  » qui se répète à l'identique à l'infini.

L'addition, la soustraction, la multiplication et la division (sauf par 0) de deux nombres rationnels est encore un nombre rationnel.

\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{7}-\dfrac{5}{3}=\dfrac{7}{21}+\dfrac{6}{21}-\dfrac{15}{21}=\dfrac{-2}{21}  est un nombre rationnel.

\dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{7}=\dfrac{1 \times 2}{3 \times 7}=\dfrac{2}{21}  est un nombre rationnel.

\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}}=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{7}{2}=\dfrac{7}{6}  est un nombre rationnel.

IV

Les nombres irrationnels

Enfin, il existe des nombres dont la partie décimale est infinie et qui ne peuvent pas se mettre sous forme de quotient de deux entiers relatifs.

On dit que ces nombres sont irrationnels.

Nombre irrationnel

Un nombre qui n'est pas rationnel est appelé un nombre irrationnel.

\Pi  est un nombre irrationnel.

\sqrt{2}  est un nombre irrationnel.

Parmi les racines carrées des nombres entiers, seules celles des carrés parfaits sont des nombres rationnels. Toutes les autres racines carrées sont irrationnelles.

\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{6}  sont des nombres irrationnels car il n'existe pas de nombre entier dont le carré est égal à 35 ou 6.

Mais \sqrt{4} est rationnel, car 4 est un carré parfait : 

4=2^2

Donc  \sqrt{4}=2.

Les nombres irrationnels ont une partie décimale qui est infinie et qui n'est pas périodique, contrairement aux nombres rationnels.

\sqrt{2}=1,41421356237309504...

La période d'un nombre rationnel peut être parfois très grande. Il peut arriver que, par exemple, la calculatrice n'affiche pas de période tout simplement parce l'écran ne peut pas contenir assez de chiffres ! Pour démontrer qu'un nombre est irrationnel, il faut donc utiliser d'autres techniques.

V

Les nombres réels

En regroupant l'ensemble des nombres que l'on vient de voir, on obtient l'ensemble des nombres réels.

On peut les représenter par des points sur un axe orienté.

De plus, à chaque point d'un axe orienté, on peut associer un unique nombre réel.

Ensemble des nombres réels

L'ensemble des nombres réels est l'ensemble des abscisses des points d'un axe orienté que l'on appelle la « droite des réels ».

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Droite des réels

VI

Relation entre les ensembles

Les ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres de la façon suivante :

  • L'ensemble  \mathbb{N}  des entiers naturels est inclus dans  \mathbb{Z}.
  • L'ensemble  \mathbb{Z}  des entiers relatifs est inclus dans  \mathbb{D}.
  • L'ensemble  \mathbb{D}  des nombres décimaux est inclus dans  \mathbb{Q}.
  • L'ensemble  \mathbb{Q}  des nombres rationnels est inclus dans  \mathbb{R}.

  \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

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