Les primitivesCours

I

Primitives d'une fonction continue

Primitive

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I qui vérifie, pour tout x de I :

F'\left(x\right) = f\left(x\right)

Soient F la fonction définie et dérivable sur \mathbb{R} et f la fonction définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=x^3-5x+1 et f\left(x\right)=3x^2-5.

On a, pour tout réel x :

F'\left(x\right)=3x^2-5=f\left(x\right)

Donc F est une primitive de f sur \mathbb{R}.

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x\longmapsto F\left(x\right) + k, où k est un réel quelconque.

La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=8x-\dfrac1x est une primitive sur \mathbb{R} de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=8+\dfrac{1}{x^2}. Toutes les primitives de f sur \mathbb{R} sont donc de la forme :

x\longmapsto8x-\dfrac1x+k, avec k\in\mathbb{R}.

Toute fonction continue sur I admet donc une infinité de primitives sur I.

II

Les primitives des fonctions usuelles

Soient n un entier et k un réel. La fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I. Le tableau suivant donne des primitives des fonctions usuelles :

f\left(x\right) F\left(x\right) I
k kx \mathbb{R}
x^{n} \dfrac{x^{n+1}}{n+1} si n \geq 1 : \mathbb{R}

si n \leq - 2 : \left]- \infty ; 0\right[ et \left]0 ; + \infty \right[

\dfrac{1}{\sqrt{x}} 2\sqrt{x} \left]0 ; + \infty \right[
\dfrac{1}{x} \ln\left(x\right) \left]0 ; + \infty \right[
e^{x} e^{x} \mathbb{R}
III

Opérations et primitives

Soit un entier n différent de 0 et −1. On désigne par u une fonction dérivable sur un intervalle I de \mathbb{R}. La fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.

f F Conditions
u'u^{n} \dfrac{u^{n+1}}{n + 1} si n \leq - 2, u ne s'annule pas sur I
\dfrac{u'}{u} \ln\left(u\right) u fonction strictement positive
\dfrac{u'}{\sqrt{u}} 2\sqrt{u} u fonction strictement positive
u'e^{u} e^{u}

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