Soit f la fonction définie sur \left]1;+\infty\right[ par f\left(x\right)= \dfrac{1}{x \ln\left(x\right)}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f ?
On a, pour tout réel x appartenant à \left]1;+\infty\right[, f\left(x\right)= \dfrac{1}{x \ln\left(x\right)}
On remarque que :
\dfrac{1}{x \ln\left(x\right)}=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\ln\left(x\right)}
On pose, pour tout réel x appartenant à \left]1;+\infty\right[, u\left(x\right)=\ln\left(x\right).
On a alors, pour tout réel x appartenant à \left]1;+\infty\right[, u'\left(x\right)=\dfrac{1}{x}.
f=\dfrac{u'}{u}, donc une primitive de f est F avec F=\ln\left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x appartenant à \left]1;+\infty\right[ :
F\left(x\right)= \ln\left(u\left(x\right)\right)=\ln\left(\ln\left(x\right)\right).
La fonction F définie sur \left]1;+\infty\right[ par F\left(x\right)=\ln\left(\ln\left(x\right)\right) est une primitive de f sur cet intervalle.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= \dfrac{2x+9}{x^2+9x+40}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f ?
On a, pour tout réel x, f\left(x\right)= \dfrac{2x+9}{x^2+9x+40}
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=x^2+9x+40.
On a alors, pour tout réel x, u'\left(x\right)=2x+9.
f=\dfrac{u'}{u}, donc une primitive de f est F avec F=\ln\left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x :
F\left(x\right)= \ln\left(u\left(x\right)\right)=\ln\left(x^2+9x+40\right).
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)= \ln\left(x^2+9x+40\right) est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= \dfrac{e^x}{e^x+1}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f sur \mathbb{R} ?
On a, pour tout réel x, f\left(x\right)= \dfrac{e^x}{e^x+1}
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=e^x+1.
On a alors, pour tout réel x, u'\left(x\right)=e^x.
f=\dfrac{u'}{u}, donc une primitive de f est F avec F=\ln\left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x :
F\left(x\right)= \ln\left(u\left(x\right)\right)=\ln\left(e^x+1\right).
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)= \ln\left(e^x+1\right) est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= \dfrac{e^{-5x+3}}{e^{-5x+3}+21}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f sur \mathbb{R} ?
On a, pour tout réel x, f\left(x\right)= \dfrac{e^{-5x+3}}{e^{-5x+3}+21}
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=e^{-5x+3}+21.
On a alors, pour tout réel x, u'\left(x\right)=-5e^{-5x+3}.
f=-\dfrac{1}{5}\times \dfrac{u'}{u}, donc une primitive de f est F avec F=-\dfrac{1}{5}\ln\left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x :
F\left(x\right)=-\dfrac{1}{5} \ln\left(u\left(x\right)\right)=-\dfrac{1}{5}\ln\left(e^{-5x+3}+21\right).
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=-\dfrac{1}{5}\ln\left(e^{-5x+3}+21\right) est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \left]-\dfrac{5}{4};+\infty\right[ par f\left(x\right)= \dfrac{3}{4x+5}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f sur cet intervalle ?
On a, pour tout réel x appartenant à \left]-\dfrac{5}{4};+\infty\right[, f\left(x\right)= \dfrac{3}{4x+5}.
On pose, pour tout réel x appartenant à \left]-\dfrac{5}{4};+\infty\right[, u\left(x\right)=4x+5. On remarque que pour tout x appartenant à \left]-\dfrac{5}{4};+\infty\right[, on a u\left(x\right)\gt0.
On a alors u'\left(x\right)=4.
f=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{u'}{u}, donc une primitive de f est F avec F=\dfrac{3}{4}\ln\left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x appartenant à \left]-\dfrac{5}{4};+\infty\right[ :
F\left(x\right)=\dfrac{3}{4} \ln\left(u\left(x\right)\right)=\dfrac{3}{4}\ln\left(4x+5\right).
La fonction F définie sur \left]-\dfrac{5}{4};+\infty\right[ par F\left(x\right)=\dfrac{3}{4}\ln\left(4x+5\right) est une primitive de f sur cet intervalle.
Soit f la fonction définie sur \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)= \dfrac{1}{x+13}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f sur cet intervalle ?
On a, pour tout réel x appartenant à \left]0;+\infty\right[, f\left(x\right)= \dfrac{1}{x+13}.
On pose, pour tout réel x appartenant à \left]0;+\infty\right[, u\left(x\right)=x+13. On remarque que pour tout réel x appartenant à \left]0;+\infty\right[, on a u\left(x\right)\gt0.
On a alors u'\left(x\right)=1.
f= \dfrac{u'}{u}, donc une primitive de f est F avec F=\ln\left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x appartenant à \left]0;+\infty\right[ :
F\left(x\right)= \ln\left(u\left(x\right)\right)=\ln\left(x+13\right).
La fonction F définie sur \left]0;+\infty\right[ par F\left(x\right)=\ln\left(x+13\right) est une primitive de f sur cet intervalle.
Soit f la fonction définie sur \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)= \dfrac{x^2}{x^3+2}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive F de f sur cet intervalle ?
On a, pour tout réel x appartenant à \left]0;+\infty\right[, f\left(x\right)= \dfrac{x^2}{x^3+2}.
On pose, pour tout réel x appartenant à \left]0;+\infty\right[, u\left(x\right)=x^3+2.
On a alors u'\left(x\right)=3x^2.
f= \dfrac{1}{3}\dfrac{u'}{u}, donc une primitive de f est F avec F=\dfrac{1}{3}\ln\left(u\right).
Par conséquent, pour tout réel x appartenant à \left]0;+\infty\right[ :
F\left(x\right)=\dfrac{1}{3} \ln\left(u\left(x\right)\right)=\dfrac{1}{3}\ln\left(x^3+2\right).
La fonction F définie sur \left]0;+\infty\right[ par F\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\ln\left(x^3+2\right) est une primitive de f sur cet intervalle.