Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= x^3-4x+1.
Quelle est la primitive F de f vérifiant la condition F\left(1\right)=-2 ?
On a f\left(x\right)= x^3-4x+1 pour tout réel x. Les primitives F de f sont donc les fonctions de la forme :
F\left(x\right)=\dfrac{x^4}{4}-4\dfrac{x^2}{2}+x+k, où k est un nombre réel quelconque.
F doit vérifier la condition F\left(1\right)=-2.
On calcule :
F\left(1\right)=\dfrac{1^4}{4}-4\dfrac{1^2}{2}+1+k
F\left(1\right)=\dfrac{1}{4}-2+1+k
F\left(1\right)=-\dfrac{3}{4}+k
On doit donc avoir :
-\dfrac{3}{4}+k=-2, d'où :
k=-2+\dfrac{3}{4}
k= -\dfrac{5}{4}.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\dfrac{x^4}{4}-4\dfrac{x^2}{2}+x-\dfrac{5}{4} est l'unique primitive de f sur \mathbb{R} vérifiant la condition demandée.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= e^x+3.
Quelle est la primitive F de f vérifiant la condition F\left(0\right)=0 ?
On a f\left(x\right)=e^x+3 pour tout réel x. Les primitives F de f sont donc les fonctions de la forme :
F\left(x\right)=e^x+3x+k, où k est un nombre réel quelconque.
F doit vérifier la condition F\left(0\right)=0.
On calcule :
F\left(0\right)=e^0+3\times 0+k
F\left(0\right)=1+k
On doit donc avoir :
1+k=0, d'où :
k= -1.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=e^x+3x-1 est l'unique primitive de f sur \mathbb{R} vérifiant la condition F\left(0\right)=0.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= x^2-9x+4.
Quelle est la primitive F de f vérifiant la condition F\left(1\right)=-1 ?
On a f\left(x\right)= x^2-9x+4 pour tout réel x. Les primitives F de f sont donc les fonctions de la forme :
F\left(x\right)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{9x^2}{2}+4x+k, où k est un nombre réel quelconque.
F doit vérifier la condition F\left(1\right)=-1.
On calcule :
F\left(1\right)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{9}{2}+4+k
F\left(1\right)=-\dfrac{1}{6}+k
On doit donc avoir :
-\dfrac{1}{6}+k=-1, d'où :
k= -1+\dfrac{1}{6}=-\dfrac{5}{6}.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{9x^2}{2}+4x-\dfrac{5}{6} est l'unique primitive de f sur \mathbb{R} vérifiant la condition F\left(1\right)=-1.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= \cos\left(x\right).
Quelle est la primitive F de f vérifiant la condition F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0 ?
On a f\left(x\right)= \cos\left(x\right) pour tout réel x. Les primitives F de f sont donc les fonctions de la forme :
F\left(x\right)=\sin\left(x\right)+k, où k est un nombre réel quelconque.
F doit vérifier la condition F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0.
On calcule :
F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+k
F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+k
On doit donc avoir :
\dfrac{\sqrt{2}}{2}+k=0, d'où :
k=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\sin\left(x\right)-\dfrac{\sqrt{2}}{2} est l'unique primitive de f sur \mathbb{R} vérifiant la condition F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)= 5x-2.
Quelle est la primitive F de f vérifiant la condition F\left(2\right)=-10 ?
On a f\left(x\right)= 5x-2 pour tout réel x. Les primitives F de f sont donc les fonctions de la forme :
F\left(x\right)=\dfrac{5x^2}{2}-2x+k, où k est un nombre réel quelconque.
F doit vérifier la condition F\left(2\right)=-10.
On calcule :
F\left(2\right)=\dfrac{5\times 2^2}{2}-2\times 2+k
F\left(2\right)=10-4+k=6+k
On doit donc avoir :
6+k=-10, d'où :
k=-16.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\dfrac{5x^2}{2}-2x-16 est l'unique primitive de f sur \mathbb{R} vérifiant la condition F\left(2\right)=-10.
Soit f la fonction définie sur \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)= \dfrac{10}{x^2}-4x.
Quelle est la primitive F de f sur cet intervalle vérifiant la condition F\left(10\right)=150 ?
On a f\left(x\right)= \dfrac{10}{x^2}-4x pour tout réel x appartenant à \left]0;+\infty\right[. Les primitives F de f sont donc les fonctions de la forme :
F\left(x\right)=-\dfrac{10}{x}-4\dfrac{x^2}{2}+k=-\dfrac{10}{x}-2x^2+k, où k est un nombre réel quelconque.
F doit vérifier la condition F\left(10\right)=150.
On calcule :
F\left(10\right)=-\dfrac{10}{10}-2\times 10^2+k
F\left(10\right)=-1-200+k=-201+k
On doit donc avoir :
-201+k=150, d'où :
k=150+201=351.
La fonction F définie sur \left]0;+\infty\right[ par F\left(x\right)=-\dfrac{10}{x}-2x^2+351 est l'unique primitive de f sur cet intervalle vérifiant la condition F\left(10\right)=150.
Soit f la fonction définie sur \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)= \dfrac{7}{x}-2.
Quelle est la primitive F de f sur cet intervalle vérifiant la condition F\left(1\right)=-3 ?
On a f\left(x\right)= \dfrac{7}{x}-2 pour tout réel x appartenant à \left]0;+\infty\right[. Les primitives F de f sont donc les fonctions de la forme :
F\left(x\right)=7\ln\left(x\right)-2x+k, où k est un nombre réel quelconque.
F doit vérifier la condition F\left(1\right)=-3.
On calcule :
F\left(1\right)=7\ln\left(1\right)-2+k
F\left(1\right)=-2+k
On doit donc avoir :
-2+k=-3, d'où :
k=-1.
La fonction F définie sur \left]0;+\infty\right[ par F\left(x\right)=7\ln\left(x\right)-2x-1 est l'unique primitive de f sur cet intervalle vérifiant la condition F\left(1\right)=-3.