Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(2x^3-x\right)e^{x^4-x^2}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive de f ?
On a, \forall x\in\mathbb{R}, f\left(x\right)=\left(2x^3-x\right)e^{x^4-x^2}.
On pose, \forall x\in\mathbb{R}, u\left(x\right)= x^4-x^2.
On a alors \forall x\in\mathbb{R}, u'\left(x\right)=4x^3-2x
On obtient donc :
f=\dfrac{1}{2}\times u'e^u
Une primitive de f est donc F avec F=\dfrac{1}{2}\times e^u.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\dfrac{1}{2}e^{x^4-x^2} est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=4e^{2x+7}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive de f ?
On a, \forall x\in\mathbb{R}, f\left(x\right)=4e^{2x+7}=2\times 2 e^{2x+7}.
On pose, \forall x\in\mathbb{R}, u\left(x\right)= 2x+7.
On a alors \forall x\in\mathbb{R}, u'\left(x\right)=2.
On obtient donc :
f=2\times u'e^u
Une primitive de f est donc F avec F=2\times e^u.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=2e^{2x+7} est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=xe^{-x^2}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive de f ?
On a, \forall x\in\mathbb{R}, f\left(x\right)=xe^{-x^2}.
On pose, \forall x\in\mathbb{R}, u\left(x\right)= -x^2.
On a alors \forall x\in\mathbb{R}, u'\left(x\right)=-2x.
On obtient donc :
f=-\dfrac{1}{2}\times u'e^u
Une primitive de f est donc F avec F=-\dfrac{1}{2}\times e^u.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}e^{-x^2} est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=e^{4\ln\left(x\right)}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive de f ?
On a, \forall x\in\left]0;+\infty\right[, f\left(x\right)=e^{4\ln\left(x\right)}=e^{\ln\left(x^4\right)}=x^4.
Une primitive de f est donc F avec F\left(x\right)=\dfrac{x^5}{5}.
La fonction F définie sur \left]0;+\infty\right[ par F\left(x\right)=\dfrac{x^5}{5} est une primitive de f sur cet intervalle.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^4e^{x^5-2}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive de f ?
On a, \forall x\in\mathbb{R}, f\left(x\right)=x^4e^{x^5-2}.
On pose, \forall x\in\mathbb{R}, u\left(x\right)=x^5-2.
On a alors \forall x\in\mathbb{R}, u'\left(x\right)=5x^4.
On obtient donc :
f=\dfrac{1}{5} u'e^u
Une primitive de f est donc F avec F=\dfrac{1}{5}e^u.
La fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\dfrac{1}{5}e^{x^5-2} est une primitive de f sur \mathbb{R}.
Soit f la fonction définie sur \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}.
Quelle proposition détermine correctement une primitive de f ?
On a, \forall x\in\left]0;+\infty\right[, f\left(x\right)=\dfrac{e^{\sqrt x}}{\sqrt x}.
On pose, \forall x\in\left]0;+\infty\right[, u\left(x\right)= \sqrt{x}.
On a alors \forall x\in\mathbb{R}, u'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt x}.
On obtient donc :
f=2 u'e^u
Une primitive de f est donc F avec F=2e^u.
La fonction F définie sur \left]0;+\infty\right[ par F\left(x\right)=2e^{\sqrt{x}} est une primitive de f sur \left]0;+\infty\right[.