Déterminer le sens de variation d'une primitive à partir de la représentation graphique de la fonction Méthode

Sommaire

1Déterminer graphiquement le signe de la fonction 2Énoncer le cours 3En conclure le sens de variation de la primitive

Quand une fonction f admet des primitives et que la représentation graphique de f est donnée par l'énoncé, on peut en déduire le sens de variation d'une primitive F de f.

Soit f la fonction définie et continue sur \left[ -2;2 \right] dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

Soit F une primitive de f sur \left[ -2;2 \right]. Déterminer les variations de F.

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Etape 1

Déterminer graphiquement le signe de la fonction

On détermine le signe de f grâce à sa représentation graphique.

La fonction f est positive lorsque C_f est au-dessus de l'axe des abscisses, et négative lorsque C_f est en dessous de l'axe des abscisses.

On peut alors donner le signe de f\left(x\right) :

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Etape 2

Énoncer le cours

On précise que si une fonction F est dérivable sur un intervalle I et que sa dérivée est positive sur I, alors F est croissante sur I. De même, si sa dérivée est négative sur I, F est décroissante sur I.

  • Si une fonction F est dérivable sur un intervalle I et si sa dérivée est positive sur I, alors F est croissante sur I.
  • De même, si sa dérivée est négative sur I, F est décroissante sur I.
Etape 3

En conclure le sens de variation de la primitive

Comme f est la dérivée de la fonction F, on peut conclure que F est croissante sur les intervalles où f est positive et décroissante sur les intervalles où f est négative.

Or f est la dérivée de F sur \left[ -2;2 \right]. On en déduit les variations de F sur \left[ -2;2 \right] :

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