Sommaire
1Réciter le cours 2Dériver F 3Conclure Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2025-2026
Une fonction F est une primitive d'une autre fonction f si et seulement si la dérivée F' de la fonction F est égale à f.
Montrer que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right) = \left(2x+5\right)e^{2x+3} est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \left(4x+12\right)e^{2x+3}.
Réciter le cours
On rappelle que F est une primitive sur I si et seulement si :
\forall x \in I, F'\left(x\right) = f\left(x\right)
F est une primitive de f sur \mathbb{R} si et seulement si, \forall x \in \mathbb{R}, F'\left(x\right) =f\left(x\right).
Dériver F
On justifie la dérivabilité de F sur l'intervalle I puis on dérive F sur ce même intervalle.
F est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.
On remarque que F= uv, avec, pour tout réel x :
- u\left(x\right) = 2x+5
- v\left(x\right) = e^{2x+3}
Donc F'= u'v+uv', avec, pour tout réel x :
- u'\left(x\right) = 2
- v'\left(x\right) = 2e^{2x+3}
On en déduit que :
\forall x \in \mathbb{R}, F'\left(x\right) = 2\times e^{2x+3}+\left(2x+5\right)\times 2 e^{2x+3}
Finalement :
\forall x \in \mathbb{R}, F'\left(x\right) = \left(4x+12\right) e^{2x+3}
Conclure
On conclut que F est une primitive de f sur I.
On a bien, \forall x \in \mathbb{R}, F'\left(x\right) =f\left(x\right).
Donc la fonction F est bien une primitive de f sur \mathbb{R}.