Montrer qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f Méthode

Sommaire

1Réciter le cours 2Dériver F 3Conclure

Une fonction F est une primitive d'une autre fonction f si et seulement si la dérivée F' de la fonction F est égale à f.

Montrer que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right) = \left(2x+5\right)e^{2x+3} est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \left(4x+12\right)e^{2x+3}.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que F est une primitive sur I si et seulement si :

\forall x \in I, F'\left(x\right) = f\left(x\right)

F est une primitive de f sur \mathbb{R} si et seulement si, \forall x \in \mathbb{R}, F'\left(x\right) =f\left(x\right).

Etape 2

Dériver F

On justifie la dérivabilité de F sur l'intervalle I puis on dérive F sur ce même intervalle.

F est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.

On remarque que F= uv, avec, pour tout réel x :

  • u\left(x\right) = 2x+5
  • v\left(x\right) = e^{2x+3}

Donc F'= u'v+uv', avec, pour tout réel x :

  • u'\left(x\right) = 2
  • v'\left(x\right) = 2e^{2x+3}

On en déduit que :

\forall x \in \mathbb{R}, F'\left(x\right) = 2\times e^{2x+3}+\left(2x+5\right)\times 2 e^{2x+3}

Finalement :

\forall x \in \mathbb{R}, F'\left(x\right) = \left(4x+12\right) e^{2x+3}

Etape 3

Conclure

On conclut que F est une primitive de f sur I.

On a bien, \forall x \in \mathbb{R}, F'\left(x\right) =f\left(x\right).

Donc la fonction F est bien une primitive de f sur \mathbb{R}.