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  4. Méthode : Montrer qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f

Montrer qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f Méthode

Sommaire

1Réciter le cours 2Dériver F 3Conclure

Une fonction F est une primitive d'une autre fonction f si et seulement si la dérivée F' de la fonction F est égale à f.

Montrer que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right) = \left(2x+5\right)e^{2x+3} est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) = \left(4x+12\right)e^{2x+3}.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que F est une primitive sur I si et seulement si :

\forall x \in I, F'\left(x\right) = f\left(x\right)

F est une primitive de f sur \mathbb{R} si et seulement si, \forall x \in \mathbb{R}, F'\left(x\right) =f\left(x\right).

Etape 2

Dériver F

On justifie la dérivabilité de F sur l'intervalle I puis on dérive F sur ce même intervalle.

F est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.

On remarque que F= uv, avec, pour tout réel x :

  • u\left(x\right) = 2x+5
  • v\left(x\right) = e^{2x+3}

Donc F'= u'v+uv', avec, pour tout réel x :

  • u'\left(x\right) = 2
  • v'\left(x\right) = 2e^{2x+3}

On en déduit que :

\forall x \in \mathbb{R}, F'\left(x\right) = 2\times e^{2x+3}+\left(2x+5\right)\times 2 e^{2x+3}

Finalement :

\forall x \in \mathbb{R}, F'\left(x\right) = \left(4x+12\right) e^{2x+3}

Etape 3

Conclure

On conclut que F est une primitive de f sur I.

On a bien, \forall x \in \mathbb{R}, F'\left(x\right) =f\left(x\right).

Donc la fonction F est bien une primitive de f sur \mathbb{R}.

Voir aussi
  • Cours : Les primitives
  • Quiz : Les primitives
  • Exercice : Connaître la notion de primitive
  • Exercice : Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée
  • Exercice : Vérifier qu'une fonction est la primitive d'une fonction donnée vérifiant une égalité
  • Exercice : Connaître les primitives des fonctions usuelles
  • Exercice : Connaître les primitives d'opérations de fonctions
  • Exercice : Démontrer que deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante
  • Exercice : Trouver les primitives d'un produit d'un réel et d'une fonction usuelle
  • Exercice : Trouver les primitives d'une somme de fonctions usuelles
  • Exercice : Trouver les primitives d'un polynôme
  • Exercice : Trouver les primitives d'une combinaison linéaire des fonctions usuelles
  • Exercice : Trouver les primitives d'une fonction sous forme u' u^n
  • Exercice : Trouver les primitives d'une fonction sous forme u'/u
  • Exercice : Trouver les primitives d'une fonction sous forme u'/u^2
  • Exercice : Trouver les primitives d'une fonction sous forme u'/sqrt(u)
  • Exercice : Trouver les primitives d'une fonction sous forme u' e^u
  • Exercice : Trouver les primitives d'une fonction sous forme u' sin(u)
  • Exercice : Trouver les primitives d'une fonction sous forme u' cos(u)
  • Exercice : Trouver les primitives d'une fonction sous forme u(ax+b)
  • Exercice : Trouver les primitives d'une composition de fonctions usuelles
  • Exercice : Trouver les primitives d'une opération linéaire de fonctions usuelles et de combinaisons de fonctions usuelles
  • Méthode : Déterminer une primitive d'une fonction
  • Méthode : Déterminer une primitive particulière
  • Méthode : Observer le signe d'une fonction à partir de la représentation graphique d'une de ses primitives
  • Méthode : Déterminer le sens de variation d'une primitive à partir de la représentation graphique de la fonction

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