Le vocabulaire des probabilités
Les probabilités consistent en l'étude des phénomènes aléatoires. Les résultats de l'expérience sont appelés « éventualités » ou « issues » et l'ensemble des éventualités est appelé « événement ». Si l'on peut associer les issues d'un événement avec une fréquence d'apparition, l'expérience est appelée « épreuve ».
Expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire lorsque son résultat est lié au hasard et ne peut donc pas être prédit avec certitude.
Le lancer d'un dé équilibré à 6 faces constitue une expérience aléatoire : il existe 6 résultats possibles, dont aucun n'est prévisible de façon certaine.
Éventualité (ou issue)
Les résultats possibles d'une expérience sont généralement appelés « éventualités » (ou « issues »).
Les éventualités de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces, notées e_i, sont :
- e_1 : face 1 ;
- e_2 : face 2 ;
- e_3 : face 3 ;
- e_4 : face 4 ;
- e_5 : face 5 ;
- e_6 : face 6.
Épreuve
On appelle « épreuve » une expérience dont les différentes issues sont aléatoires et auxquelles on peut attacher des fréquences d'apparition connues ou estimées.
Le lancer d'un dé équilibré à 6 faces constitue une épreuve. On sait que la fréquence d'apparition de chaque face est égale à \dfrac{1}{6}.
Les différents événements
Il existe plusieurs types d'événements en fonction des issues possibles : les événements élémentaires, incompatibles, contraires, certains et impossibles.
Événement élémentaire
Un événement ne contenant qu'une issue (ou éventualité) est dit élémentaire.
On considère le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. On souhaite étudier l'événement A : « Obtenir un multiple de 5 ».
L'événement A est un événement élémentaire car il ne contient qu'une issue : « face 5 ».
Événements incompatibles
Deux événements sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas être réalisés simultanément.
On lance un dé équilibré à six faces. Soient :
- P : « Obtenir un nombre pair » ;
- T : « Obtenir 3 ».
Les événements P et T sont incompatibles : ils ne peuvent pas être réalisés en même temps.
Événement contraire
On appelle « événement contraire » de l'événement A, noté \overline{A}, l'ensemble des éventualités qui ne sont pas dans A.
On considère le lancer d'un dé équilibré à six faces.
Soit M : « Obtenir un multiple de 3 », ce qui revient à : « Obtenir la face 3 ou la face 6 ».
L'événement contraire de M est :
\overline{M} : « Ne pas obtenir un multiple de 3 », ce qui revient à : « N'obtenir ni la face 3 ni la face 6 ».
\overline{M} est l'événement contraire de M.
Événement certain
Un événement certain est un événement qui se réalise toujours. Sa probabilité est 1.
Lorsqu'on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, l'événement « Obtenir un nombre inférieur à 10 » est un événement certain.
Événement impossible
Un événement impossible est un événement qui ne peut pas se réaliser. Sa probabilité est 0.
Lorsqu'on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, l'événement « Obtenir 10 » est un événement impossible.
La probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement est l'évaluation du nombre de chances qu'a cet événement de se produire. Il s'agit d'un nombre compris entre 0 et 1 qui correspond à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.
Probabilité
Lorsqu'on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire de façon indépendante et dans les mêmes conditions, la fréquence de réalisation d'un événement E se rapproche d'un nombre que l'on appelle « probabilité » de cet événement. On la note p\left(E\right).
On considère un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
En lançant ce dé un grand nombre de fois, la fréquence d'apparition de chacune des faces du dé est \dfrac{1}{6}.
La probabilité de l'événement A « Obtenir un 6 » est p(A)=\dfrac{1}{6}.
La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1.
Elle exprime la « chance » qu'a cet événement de se produire, d'être réalisé.
On peut l'exprimer sous forme d'un nombre à virgule, d'une fraction ou d'un pourcentage.
On considère un dé équilibré à 10 faces numérotées de 1 à 10.
La probabilité de l'événement A « Obtenir le 10 » est p(A)=\dfrac{1}{10}=0{,}1=10\ \%.
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On suppose le dé non équilibré. Un grand nombre de lancers a permis d'obtenir les résultats suivants :
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité | \dfrac{1}{3} | \dfrac{1}{12} | \dfrac{1}{12} | \dfrac{1}{12} | \dfrac{1}{12} | \dfrac{1}{3} |
On note A l'événement « Obtenir un nombre pair ». On a :
p\left(A\right)=p\left(\left\{ \text{obtenir 2} \right\}\right)+p\left(\left\{ \text{obtenir 4} \right\}\right)+p\left(\left\{ \text{obtenir 6} \right\}\right)
p\left(A\right)=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}
p\left(A\right)=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{4}{12}
p\left(A\right)=\dfrac{6}{12}
p\left(A\right)=\dfrac{1}{2}
La réunion de deux événements
La réunion de deux événements correspond à l'événement « Au moins l'un des deux événements est réalisé ». La probabilité de la réunion de deux événements incompatibles est égale à la somme des probabilités des deux événements. La probabilité de la réunion de deux événements contraires est égale à 1.
Définition de la réunion de deux événements
L'événement « Au moins l'un des deux événements A ou B est réalisé » est appelé « réunion des deux événements A et B ».
Réunion de deux événements
Soient A et B deux événements sur une expérience aléatoire.
L'événement « Au moins l'un des deux événements A ou B est réalisé » est appelé « réunion des deux événements A et B ».
On note cet événement A\cup B.
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note :
- A : « On obtient un nombre pair » ;
- B : « On obtient un nombre multiple de 5 ».
La réunion des événements A et B est l'événement :
A\cup B : « On obtient un nombre qui vérifie au moins l'une des deux conditions "être pair" et "être multiple de 5" ».
La réunion de deux événements incompatibles
La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se réalise est p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right).
Si deux événements A et B sont incompatibles, la probabilité qu'au moins un des deux événements se réalise est la somme des probabilités des deux événements.
Autrement dit :
p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)
On reprend l'exemple précédent.
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note :
- A : « On obtient un nombre pair » ;
- B : « On obtient un nombre multiple de 5 ».
On a donc :
p(A)=\dfrac{1}{2} et p(B)=\dfrac{1}{6}
A et B sont incompatibles, donc :
p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)
p (A \cup B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}
p (A \cup B)=\dfrac{3}{6}+\dfrac{1}{6}
p (A \cup B)=\dfrac{4}{6}
p (A \cup B)=\dfrac{2}{3}
La réunion de deux événements contraires
La probabilité que l'un de deux événements contraires se réalise est p\left(A\right)+p\left(\overline{A}\right)=1.
On considère une expérience aléatoire.
Quel que soit l'événement A, on a :
p\left(A\right)+p\left(\overline{A}\right)=1
On considère un jeu de 32 cartes classique.
On choisit une carte au hasard dans ce jeu.
La probabilité de l'événement A « Obtenir un cœur » est \dfrac{1}{4}.
On a une chance sur quatre de choisir une carte de cette couleur, puisqu'il y a quatre couleurs au total contenant chacune le même nombre de cartes.
L'événement contraire de l'événement A est l'événement \overline{A} : « Obtenir un pique, un carreau ou un trèfle ».
La probabilité de l'événement \overline{A} est \dfrac{3}{4}.
On a trois chances sur quatre de choisir une carte d'une de ces trois couleurs, puisqu'il y a quatre couleurs au total contenant chacune le même nombre de cartes.
On a bien :
p(A)+p\left(\overline{A}\right)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1
Autrement dit :
p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note A l'événement « On obtient un nombre pair ».
On suppose que le dé n'est pas équilibré et que p\left(A\right)=\dfrac{2}{3}.
L'événement contraire de A est \overline{A} : « Obtenir un nombre impair ».
On a alors :
p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}
Le cas d'équiprobabilité
Lorsque tous les événements élémentaires ont autant de chances de se réaliser, on parle d'« équiprobabilité ».
Situation équiprobable
On appelle « situation équiprobable » une expérience où tous les événements élémentaires ont la même probabilité d'être réalisés.
Si on lance un dé équilibré, la probabilité de sortie de chaque face est égale. On est donc dans une situation d'équiprobabilité.
En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A, notée p\left(A\right), est égale à :
p\left(A\right)=\dfrac{\text{Nombre d'éventualités réalisant A}}{\text{Nombre total d'éventualités}}
On lance un dé équilibré à 6 faces. On cherche la probabilité de l'événement A : « Obtenir un multiple de 3 ou de 5 ».
Il existe 3 éventualités réalisant cet événement :
- e_3 : face 3 ;
- e_5 : face 5 ;
- e_6 : face 6.
De plus, le dé étant équilibré, la situation est équiprobable, chaque face a donc 1 chance sur 6 de sortir. On en conclut que la probabilité de l'événement A est égale à :
p\left(A\right)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}