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Dernière modification : 31/08/2026 - Conforme au programme 2026-2027
La somme des mesures des angles dans un triangle
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
Dans le triangle ci-dessous, \textcolor{Blue}{\widehat{ABC}} + \textcolor{Green}{\widehat{BAC}} + \textcolor{Red}{\widehat{ACB}} = 180^\circ.
On considère un triangle ABC quelconque.
On va démontrer que la somme des mesures des angles de ce triangle vaut 180°.
On montre que \widehat{yAB} et \widehat{ABC} sont égaux.
On trace la droite parallèle à la droite (BC) passant par le point A. On la nomme (xy).
Les droites (xy) et (BC) sont deux droites parallèles coupées par la sécante (AB).
Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles alternes-internes qu'elles déterminent ont la même mesure.
Donc les angles alternes-internes \widehat{yAB} et \widehat{ABC} sont égaux.
Par un raisonnement analogue à celui de l'étape 1, on prouve que les angles alternes-internes \widehat{xAC} et \widehat{ACB} sont égaux.
On conclut sur la mesure du dernier angle
Les angles \widehat{xAC}, \widehat{ABC} et \widehat{yAB} sont adjacents.
Or, l'angle \widehat{xAy} est un angle plat.
On en déduit que : \widehat{xAC}+\widehat{BAC}+\widehat{yAB}=180°.
On sait par ailleurs que :
- \widehat{ACB}=\widehat{xAC}
- \widehat{ABC}=\widehat{yAB}
Par conséquent, on obtient :
\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{ABC}=180°
Si l'on connaît la mesure de deux angles d'un triangle, on peut donc en déduire la mesure du troisième angle.
\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180°
On connaît les angles \widehat{BAC} et \widehat{ACB} donc on peut en déduire la mesure de l'angle \widehat{ABC} :
\widehat{ABC}=180°-\widehat{BAC}-\widehat{ACB}=180°-30°-40°=110°
Dans le cas particulier d'un triangle équilatéral, on peut prouver que les trois angles mesurent 60°.
Lorsque l'on veut construire des triangles en vraie grandeur à partir de données partielles, on peut utiliser la propriété de la somme des mesures des angles dans un triangle.
Par exemple, si on veut construire le triangle ci-dessous, on doit d'abord calculer la mesure de l'angle \widehat{AUG}.
Lorsque l'on veut démontrer que des points sont alignés, on peut être amené à utiliser la propriété de la somme des mesures des angles dans un triangle.
On considère la figure ci-dessous. On souhaite démontrer que les points A, E et F sont alignés.
Pour cela, on peut démontrer que l'angle \widehat{AEF} mesure 180°.
Pour cela, on peut démontrer que la somme des mesures des angles \widehat{AED}, \widehat{DEC} et \widehat{CEF} vaut 180°.
Le triangle DEC est équilatéral. Ses trois angles mesurent donc 60°. En particulier, on a \widehat{DEC} mesure 60°.
Pour calculer la mesure de l'angle \widehat{AED}, on utilise la propriété de la somme des mesures des angles dans le triangle AED isocèle en D.
Pour calculer la mesure de l'angle \widehat{ECF}, on utilise la propriété de la somme des mesures des angles dans le triangle ECF isocèle en C.
Les médiatrices d'un triangle
Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement, en son milieu.
Dans la figure ci-dessous, \Delta est la médiatrice du segment \left[AB \right].
Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant (à la même distance) des deux extrémités de ce segment.
Autrement dit, si un point M appartient à la médiatrice d'un segment \left[ AB \right], alors on a MA=MB.
Réciproquement, si un point est équidistant des deux extrémités d'un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
Autrement dit, si trois points M, A et B sont tels que MA=MB, alors le point M appartient à la médiatrice du segment [AB].
Dans un triangle, les médiatrices des côtés sont concourantes.
Autrement dit, les trois médiatrices d'un triangle ont un point commun.
Ce point, appelé le point de concours des médiatrices, est le centre du cercle circonscrit au triangle. Il peut être situé à l'extérieur ou à l'intérieur du triangle.
Pour un triangle isocèle et pour un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle.
Ci-dessous :
- Le triangle ABM est isocèle en M ; le point O est le centre de son cercle circonscrit.
-
Le triangle RST est équilatéral ; le point J est le centre de son cercle circonscrit.
Pour un triangle rectangle, l'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit et donc le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
Autrement dit, un triangle rectangle est inscrit dans un demi-cercle dont le diamètre est l'hypoténuse.
Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A.
Son hypoténuse est le segment [BC].
Le centre du cercle circonscrit est le point O, milieu de l'hypoténuse.
Hauteurs d'un triangle
Hauteur d'un triangle
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
Dans un triangle ABC, on appelle « pied de la hauteur » issue de A le point d'intersection de la hauteur avec la droite \left( BC \right). Si l'on note H le pied de la hauteur issue de A, on appelle également « hauteur issue de A » la longueur du segment \left[AH \right].
Dans le triangle ABC, la droite \left( AH \right) est la hauteur issue du sommet A, et H est le pied de la hauteur.
La longueur AH est également appelée hauteur du triangle ABC.
Une hauteur peut être située à l'extérieur du triangle.
Dans le triangle RST ci-dessous, la droite \left( RK \right) est la hauteur issue de R, et K est le pied de la hauteur.
Dans un triangle, il existe trois hauteurs.
Ces trois hauteurs sont concourantes.
Leur point de concours s'appelle l'orthocentre du triangle. Il peut être situé à l'extérieur ou à l'intérieur du triangle.
Couple « base hauteur » dans un triangle
Dans un triangle, on peut associer chaque côté à la hauteur associée à ce côté. Chaque association désigne un couple « base hauteur ».
Dans un triangle, il existe trois couples « base hauteur ».
En général, on note b la longueur d'une base et h la longueur de la hauteur associée.
Dans le triangle RST, voici les trois couples « base hauteur ».
Dans le triangle ABC, voici les trois couples « base hauteur ».
L'aire d'un triangle de base de longueur b et de hauteur associée h est égale à la moitié de l'aire d'un rectangle de dimensions b et h.
Le rectangle ABCD a comme longueur DC = b et pour largeur DA=h.
L'aire du triangle EDC est égale à la moitié de l'aire du rectangle ABCD.
L'aire d'un triangle est donnée par la formule suivante :
\mathcal{A} = \dfrac{\text{b} \times \text{h}}{2}
Où b et h désignent les longueurs respectives de la base et de la hauteur d'un couple « base hauteur ».
L'aire de ce triangle est égale à :
\mathcal{A}=\dfrac{4 \times 6}{2} = 12\text{ cm}^2
Quel que soit le couple « base hauteur » choisi pour calculer l'aire d'un triangle, on obtient le même résultat.
Quand on calcule l'aire d'un triangle, il faut bien vérifier que les longueurs b et h sont exprimées dans la même unité.
Dans le triangle ci-dessous, h est exprimée en cm et b est exprimée en dm.
Il faut effectuer une conversion avant de commencer le calcul de l'aire.
b=1{,}5\text{ dm}=15 \text{ cm}
Puis on calcule :
A=\dfrac{15 \times 6}{2}=45\text{ cm}^2
Les médianes d'un triangle
Médiane d'un triangle
Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Dans le triangle ABC, la droite \left( BI \right) est la médiane issue du sommet B.
Une médiane est toujours située à l'intérieur du triangle.
Dans un triangle, il existe trois médianes.
Ces trois médianes sont concourantes.
Leur point de concours est le centre de gravité du triangle. Il est nécessairement situé à l'intérieur du triangle.
Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.
Dans le triangle ABC ci-dessous, la droite (BI) est la médiane issue du sommet B.
Les triangles ABI et CBI ont des aires égales.
On considère un triangle RST quelconque et l'une de ses médianes, par exemple la médiane issue du sommet R.
On note M le milieu du segment [ST]. Ainsi, la droite (RM) est la médiane issue du sommet R.
On souhaite démontrer que les aires des triangles RMS et RMT sont égales.
On exprime l'aire du triangle RMS.
On prend comme base le segment [SM] et sa hauteur associée.
L'aire du triangle RMS est égale à :
\dfrac{b \times h}{2}=\dfrac{SM \times h}{2}
On exprime l'aire du triangle RMT.
On prend comme base le segment [MT] et sa hauteur associée.
On remarque que cette hauteur est la même que celle utilisée pour le calcul de l'aire du triangle RMS.
L'aire du triangle RMT est égale à :
\dfrac{b \times h}{2}=\dfrac{MT \times h}{2}
Conclusion
Comme le point M est le milieu du segment [ST], on a :
SM=MT
Par conséquent :
\dfrac{SM \times h}{2}=\dfrac{MT \times h}{2}
Et donc les aires des triangles RMS et RMT sont égales.