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  4. Exercice type bac : Métropole 2024, Etude d'une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire

Métropole 2024, Etude d'une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire Exercice type bac

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2025-2026

Partie A : étude de la fonction f

La fonction f est définie sur l'intervalle ]0;+\infty [ par :

f(x)=x-2+\dfrac{1}{2}\ln x

où \ln désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur ]0;+\infty [, on note f' sa dérivée et f'' sa dérivée seconde.

a

Quelle est la limite de la fonction f en 0_+ ?

b

Quelle est la limite de la fonction f en +\infty ?

c

Quelle est l'expression de f'(x) pour tout x \in ]0;+\infty[ ?

d

Quel est le sens de variation de la fonction f sur ]0;+\infty[ ?

e

Sur ]0;+\infty[, que peut-on dire de la fonction f ?

f

Combien de solutions l'équation f (x) = 0 admet-elle exactement dans ]0;+\infty[ ?

g

On note \alpha la solution de l'équation f(x)=0 sur ]0;+\infty[.

À quel intervalle appartient \alpha ?

h

Quel est le signe de f (x) pour x \in ]0;+\infty[ ?

i

Que vaut \ln(\alpha) ?

Partie B : étude de la fonction g

La fonction g est définie sur ]0 ; 1] par :

g(x)=-\dfrac{7}{8}x^2+x-\dfrac{1}{4}x^2 \ln x

On admet que la fonction g est dérivable sur ]0 ; 1] et on note g' sa fonction dérivée.

a

Pour x \in ]0;1], quelle est l'expression de g'(x) ?

b

Est-il vrai que pour x \in ]0;1], g'(x)=xf\left( \dfrac{1}{x} \right) ?

c

Pour x \in ]0;\dfrac{1}{\alpha}[, quel est le signe de f\left( \dfrac{1}{x} \right) ?

d

On admet le tableau de signes suivant :

-

Quel est le tableau de variations correct de g sur l'intervalle ]0 ; 1] ?

Partie C : un calcul d'aire.

On a représenté sur le graphique ci-dessous :

  • la courbe C_g de la fonction g ;
  • la parabole P d'équation y=-\dfrac{7}{8}x^2+x sur l'intervalle ]0;1].
-

On souhaite calculer l'aire A du domaine hachuré compris entre les courbes C_g et P, et les droites d'équations x = \dfrac{1}{\alpha} et x = 1.
On rappelle que \ln(\alpha) = 2(2 - \alpha).

a

Quelle inégalité est vraie et permet de justifier la position relative des courbes C_g et P sur l'intervalle ]0;1] ?

b

Quelle est la valeur de l'intégrale \int_{\dfrac{1}{\alpha}}^{1} x^2 \ln x \ \mathrm dx ?

c

Quelle est l'expression de l'aire A en fonction de \alpha ?

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