Partie A
On considère une fonction f définie sur [0;+\infty[, représentée par la courbe C ci-dessous.
La droite T est tangente à la courbe C au point A d'abscisse \dfrac{5}{2}.
Par lecture graphique, quel tableau de variations de la fonction f sur [0;5] obtient-on ?
Par lecture graphique, le tableau de variations de la fonction f sur [0;5] est le suivant :
Que semble présenter la courbe C au point A ?
La courbe C semble traverser la tangente au point A.
Donc la courbe C semble admettre un point d'inflexion au point A.
La courbe C semble présenter un point d'inflexion au point A.
Laquelle de ces courbes représente f', dérivée de la fonction f ?
La fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1{,} 5[ , puis décroissante sur l'intervalle ]1{,} 5 ; 5].
On en déduit que sa dérivée f' est positive sur l'intervalle [0 ; 1{,}5[ , puis négative sur l'intervalle ]1{,} 5 ; 5].
Par conséquent, la courbe représentant la dérivée f' est la courbe C_2.
C'est la courbe C_2 qui représente f', dérivée de la fonction f.
Laquelle de ces courbes représente f'', dérivée seconde de la fonction f ?
On sait que le point A, d'abscisse 2,5, est un point d'inflexion de la courbe C.
La fonction f est concave sur l'intervalle [0;2{,}5] , puis convexe sur l'intervalle [2{,} 5 ; 5].
On en déduit que sa dérivée seconde f'' est négative sur l'intervalle [0;2{,}5] , puis positive sur l'intervalle [2{,} 5 ; 5].
Par conséquent, la courbe représentant la dérivée seconde f'' est la courbe C_1.
C'est la courbe C_1 qui représente f'', dérivée seconde de la fonction f.
La courbe C_3 peut-elle être la représentation graphique sur [0;+\infty[ d'une primitive de la fonction f ?
Supposons qu'une fonction F est une primitive de la fonction f.
On a alors :
- f=F'
- f'=F''
On sait que la fonction f est négative sur [0 ; 0{,} 5[ puis positive sur [0{,}5;5].
Par conséquent, une primitive de la fonction f décroissante sur [0 ; 0{,}5[ puis croissante sur [0{,}5;5].
Or, ce n'est pas le cas de la fonction représentée par la courbe C_3.
On en conclut que la courbe C_3 n'est pas une représentation graphique d'une primitive de la fonction f.
Non, la courbe C_3 ne peut pas être la représentation graphique sur [0;+\infty[ d'une primitive de la fonction f.
Partie B
Dans cette partie, on considère que la fonction f, définie et deux fois dérivable sur [0;+\infty[, est définie par f (x) = (4x - 2) e^{-x+1}.
On notera respectivement f' et f'' la dérivée et la dérivée seconde de la fonction f.
Quelle est l'expression de f'(x) ?
Par hypothèse, la fonction f est dérivable sur [0;+\infty[.
Pour tout x \in [0;+\infty[, on a :
f'(x) =4e^{-x+1}-(4x-2)e^{-x+1}=(-4x+6)e^{-x+1}.
L'expression de f'(x) est (-4x+6)e^{-x+1}.
On admet que \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0.
Quel est le tableau de variations de la fonction f sur [0;+\infty[ ?
On sait que pour tout x \in [0;+\infty[, f'(x)=(-4x+6)e^{-x+1}.
On a les équivalences suivantes, pour tout x \in [0;+\infty[ :
-4x+6 \gt 0\\\Leftrightarrow 4x \lt 6\\\Leftrightarrow x \lt \dfrac{3}{2}
Par ailleurs, pour tout x \in [0;+\infty[, e^{-x+1} \gt 0.
On en déduit que :
- Pour tout x \in [0;\dfrac{3}{2}[, f'(x) \gt 0.
-
Pour tout x \in ]\dfrac{3}{2};+\infty[, f'(x) \lt 0.
Par conséquent :
- La fonction f est strictement croissante sur [0;\dfrac{3}{2}[.
- La fonction f est strictement décroissante sur ]\dfrac{3}{2};+\infty[.
De plus, on a :
- f(0)=(4 \times0 -2)e^{-0+1}=-2e
- f\left( \dfrac{3}{2} \right)=\left( 4 \times \dfrac{3}{2}-2 \right)e^{-\dfrac{3}{2}+1}=4e^{-\dfrac{1}{2}}
- \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0 par hypothèse
Le tableau de variations de la fonction f sur [0;+\infty[ est :
Que peut-on dire de la fonction f ?
Par hypothèse, la fonction f est deux fois dérivable sur [0;+\infty[.
Pour tout x \in [0;+\infty[, on a :
f''(x) =-4e^{-x+1}-(-4x+6)e^{-x+1}=(4x-10)e^{-x+1}
On a les équivalences suivantes, pour tout x \in [0;+\infty[ :
4x-10 \geqslant 0\\\Leftrightarrow 4x \geqslant 10\\\Leftrightarrow x \geqslant \dfrac{5}{2}
Par ailleurs, pour tout x \in [0;+\infty[, e^{-x+1} \gt 0.
On en déduit que :
- Pour tout x \in [0;\dfrac{5}{2}[, f'(x) \leqslant 0.
- Pour tout x \in [\dfrac{5}{2};+\infty[, f'(x) \geqslant 0.
Par conséquent :
- La fonction f est concave sur [0;\dfrac{5}{2}].
- La fonction f est convexe sur [\dfrac{5}{2};+\infty[.
La fonction est concave sur \left[ 0;\dfrac{5}{2} \right] puis convexe sur [\dfrac{5}{2};+\infty[.
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?
On sait que pour tout x \in [0;5/2[, on a f''(x) \leqslant 0.
De plus, pour x \in [5/2;+\infty[, on a f''(x) \geqslant 0.
f''(x) =(4x-10)e^{-x+1}
On a donc :
f''\left( \dfrac{5}{2} \right) =(4 \times \dfrac{5}{2}-10)e^{-\dfrac{5}{2}+1}=0 \times e^{-\dfrac{3}{2}}=0
On en déduit que la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion au point d'abscisse \dfrac{5}{2}.
La courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion au point d'abscisse \dfrac{5}{2}.
On considère une fonction F définie sur [0;+\infty[ par F (x) = (ax + b)e^{-x+1}, où a et b sont deux nombres réels.
Quelles sont les valeurs des réels a et b telles que la fonction F soit une primitive de la fonction f sur [0;+\infty[ ?
La fonction F est dérivable sur [0;+\infty[ comme produit de fonctions dérivables sur [0;+\infty[.
Pour tout x \in [0;+\infty[, on a :
F'(x)=ae^{-x+1}-(ax+b)e^{-x+1}=(-ax+a-b)e^{-x+1}
On a les équivalences suivantes :
La fonction F est une primitive de la fonction f.
\Leftrightarrow F'=f
\Leftrightarrow pour tout x \in [0;+\infty[, (-ax+a-b)e^{-x+1}=(4x-2)e^{-x+1}
\Leftrightarrow pour tout x \in [0;+\infty[, (-ax-4x+a-b+2)e^{-x+1}=0
Or, on sait que la fonction exponentielle ne s'annule pas.
On en déduit les équivalences suivantes :
pour tout x \in [0;+\infty[, (-ax-4x+a-b+2)e^{-x+1}=0
\Leftrightarrow \begin{cases} -a-4=0 \cr \cr a-b+2=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a=-4 \cr \cr -4-b+2=0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a=-4 \cr \cr b=-2 \end{cases}
Les valeurs des réels a et b telles que la fonction F soit une primitive de la fonction f sur [0;+\infty[ sont :
a=-4 et b=-2
On admet que F (x) = (-4x -2)e^{-x+1} est une primitive de la fonction f sur [0;+\infty[.
Quelle est la valeur exacte de l'intégrale \int_{\dfrac{3}{2}}^{8} f(x) \ \mathrm dx ?
Par hypothèse, la fonction F définie par F (x) = (-4x -2)e^{-x+1} est une primitive de la fonction f sur [0;+\infty[.
On a donc :
\int_{\dfrac{3}{2}}^{8} f(x) \ \mathrm dx\\= \left[ F(x) \right]_{\dfrac{3}{2}}^8\\= \left[ (-4x-2)e^{-x+1}\right]_{\dfrac{3}{2}}^8\\=(-4\times 8-2)e^{-8+1} - (-4 \times \dfrac{3}{2}-2)e^{-\dfrac{3}{2}+1}\\=-34e^{-7}+8e^{-\dfrac{1}{2}}
La valeur exacte de l'intégrale \int_{\dfrac{3}{2}}^{8} f(x) \ \mathrm dx est -34e^{-7}+8e^{-\dfrac{1}{2}}.
Quelle est une valeur approchée à 10^{-2} près de l'intégrale \int_{\dfrac{3}{2}}^{8} f(x) \ \mathrm dx ?
4,82 est une valeur approchée à 10^{-2} près de l'intégrale \int_{\dfrac{3}{2}}^{8} f(x) \ \mathrm dx.
Partie C
Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle \left[ \dfrac{3}{2};8 \right].
L'unité de longueur est le mètre.
Quelle est une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ D ?
La hauteur du point de départ est égale à f\left( \dfrac{3}{2} \right).
Or, f\left( \dfrac{3}{2} \right)=4e^{-\dfrac{1}{2}} \approx 2{,}43.
2,43 m est une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ D.
La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste.
L'artiste retenu prévoit de couvrir environ 75 % de la surface du mur.
Sachant qu'une bombe aérosol de 150 mL permet de couvrir une surface de 0,8 m2, quel est le nombre de bombes que l'artiste devra utiliser pour réaliser cette œuvre ?
L'aire, en unité d'aire, est égale à l'intégrale I=\int_{\dfrac{3}{2}}^{8} f(x) \ \mathrm dx calculée précédemment.
L'aire est donc environ égale à 4,82 unités d'aires.
Or, l'unité est le mètre.
Donc une unité d'aire est égale à 1 m2.
Ainsi, l'aire de la surface à couvrir est environ égale, en m2, à :
\dfrac{75}{100} \times 4{,}82, soit environ 3, 62 m2
Or, on sait qu'une bombe aérosol de 150 mL permet de couvrir une surface de 0,8 m2.
On calcule :
\dfrac{3{,}62}{0{,}8} \approx 4{,}525
On en conclut qu'il faudra 5 bombes de peinture pour réaliser cette œuvre.
L'artiste devra utiliser 5 bombes pour réaliser cette œuvre.