L'objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d'une suite.
Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.
On considère la suite (u_n ) définie par u_0 = 3 et pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\dfrac{4}{5-u_n}.
Partie A
Parmi les propositions suivantes, quelle est la fonction Python \text{suite}(n) qui prend comme paramètre le rang n et renvoie la valeur du terme u_n ?
La fonction Python qui prend comme paramètre le rang n et renvoie la valeur du terme u_n est :
Que renvoie l'exécution de \text{suite}(2) ?
Après la première boucle, on trouve :
u_1=\dfrac{4}{5-3}=\dfrac{4}{2}=2
Après la seconde boucle, on trouve :
u_2=\dfrac{4}{5-2}=\dfrac{4}{3}\approx1.3333333333333333
L'exécution de \text{suite}(2) renvoie 1.33333333333333333.
À l'aide des affichages ci-dessous, quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de la suite (u_n) ?
Les affichages successifs sont des approximations de u_2, u_5, u_{10} et u_{20}.
On remarque que :
\text{suite}(2) \geqslant \text{suite}(5) \geqslant \text{suite}(10) \geqslant \text{suite} (20)
On peut donc supposer que :
u_2 \geqslant u_5 \geqslant u_{10} \geqslant u_{20}
Et par conséquent, on peut supposer que la suite (u_n) est décroissante.
À l'aide des affichages, on peut émettre la conjecture suivante sur le sens de variation de la suite (u_n) :
La suite (u_n) semble être décroissante.
À l'aide des affichages ci-dessous, quelle conjecture peut-on émettre sur la convergence de la suite (u_n) ?
Les affichages successifs sont des approximations de u_2, u_5, u_{10} et u_{20}.
On remarque que les valeurs affichées se rapprochent de 1.
Par conséquent, on peut supposer que la suite (u_n) est convergente, de limite 1.
À l'aide des affichages, on peut émettre la conjecture suivante sur la convergence de la suite (u_n) :
La suite (u_n) semble être convergente.
Partie B
On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ] - ∞ ; 5[ par :
f(x)=\dfrac{4}{5-x}
Ainsi, la suite (u_n ) est définie par u_0 = 3 et pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = f (u_n ).
La fonction f est-elle croissante sur ]-\infty ; 5[ ?
La fonction f s'exprime comme quotient de deux fonctions dérivables sur ]-\infty ; 5[, de dénominateur ne s'annulant pas sur ]-\infty ; 5[.
Par conséquent, la fonction f est dérivable sur ]-\infty ; 5[.
On a, pour tout x \in ]-\infty ; 5[ :
f'(x)=4\times\dfrac{1}{(5-x)^2}=\dfrac{4}{(5-x)^2}
Or, un carré est toujours positif.
On en déduit que pour tout x \in ]-\infty ; 5[, f'(x) \gt 0.
On en conclut que la fonction f est strictement croissante sur ]-\infty ; 5[.
La fonction f est croissante sur ]-\infty ; 5[.
Quelle inégalité est vraie pour tout entier naturel n ?
On va procéder par récurrence.
Pour tout entier naturel n, on considère la propriété P(n) suivante :
1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4
Initialisation
On a :
- u_0=3
- u_1=\dfrac{4}{5-3}=2
On observe que :
1 \leqslant 2 \leqslant 3 \leqslant 4
Autrement dit, on a :
1 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 4
Ainsi, P(0) est vraie.
Hérédité
Soit n un entier naturel.
On suppose que P(n) est vraie.
On a alors :
1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4
La fonction f étant croissante sur ] - \infty ; 5[, on en déduit :
f(1) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(u_n) \leqslant f(4)
Or :
- f(1)=\dfrac{4}{5-1}=\dfrac{4}{4}=1
- f(u_{n+1})=u_{n+2}
- f(u_n)=u_{n+1}
- f(4)=\dfrac{4}{5-4}=4
On en déduit donc :
1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 4
Autrement dit, P(n+1) est vraie.
Conclusion
On a montré que :
- P(0) est vraie ;
- pour tout n \in \mathbb{N}, P(n) \Rightarrow P(n+1).
On en conclut que P(n) est vraie pour tout entier naturel n.
Pour tout entier naturel n, on a l'inégalité suivante : 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4.
Soit x un réel de l'intervalle ] - ∞ ; 5[.
Parmi les équivalences suivantes, laquelle est exacte ?
On sait que x \in ]- \infty ; 5[.
On a alors les équivalences suivantes :
f(x)=x\\\Leftrightarrow \dfrac{4}{5-x}=x\\\Leftrightarrow 4=x(5-x)\\\Leftrightarrow 4=5x-x^2\\\Leftrightarrow x^2-5x+4=0
Pour x un réel dans ]- \infty;5[, l'équivalence f(x)=x \Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 est exacte.
Quel est l'ensemble des solutions de l'équation f(x)=x dans ] - ∞ ; 5[ ?
On sait que pour tout x \in ]- \infty ; 5[, on a :
f(x)=x \Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0
Par conséquent, résoudre l'équation f(x)=x revient à résoudre l'équation x^2 - 5x + 4 = 0.
On résout l'équation x^2 - 5x + 4 = 0.
Le discriminant est égal à :
\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times1\times4=25-16=9
On en déduit que les racines du polynôme x^2 - 5x + 4 sont :
x_1=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5+\sqrt9}{2}=4
et
x_2=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5-\sqrt9}{2}=1
On remarque que 1 et 4 appartiennent tous deux à l'intervalle ]- \infty ; 5[.
On en conclut que les solutions de l'équation x^2 - 5x + 4 = 0 sur ]- \infty ; 5[ sont 1 et 4.
Finalement, les solutions de l'équation f(x)=x sur ]- \infty ; 5[ sont 1 et 4.
L'ensemble des solutions de l'équation f(x)=x sur ]- \infty ; 5[ est \left\{ 1;4 \right\}.
Que peut-on dire de la suite (u_n) ?
Comme nous l'avons montré précédemment, pour tout entier naturel n, 1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4. On en déduis donc que la suite (u_n) est décroissante et minorée par 1.
D'après le théorème de la limite monotone, on en déduit que la suite (u_n) converge.
Notons l la limite de la suite (u_n).
On sait que la fonction f est dérivable sur ]-\infty;5[.
La fonction f est donc continue sur ]-\infty;5[.
Par conséquent, on a :
f(l)=l
Or, on sait que les solutions de l'équation f(x)=x sont 1 et 4.
Mais on sait par ailleurs que la suite (u_n) est décroissante et que u_0=3.
On en déduit que l=1.
La suite (u_n) est convergente et sa limite est égale à 1.
Quel serait le comportement de la suite (u_n) si on choisissait comme terme initial u_0 = 4 au lieu de u_0 = 3 ?
On sait que :
- 4 est solution de l'équation f(x)=x ;
- pour tout entier naturel n, u_{n+1}=f(u_n).
Donc, si u_0=4, alors pour tout entier naturel n, on a u_n=4.
Autrement dit, si u_0=4, alors la suite (u_n) est constante : tous ses termes sont égaux à 4.
Par conséquent, si u_0=4, alors la suite (u_n) est convergente et sa limite est égale à 4.
Si on choisissait comme terme initial u_0 = 4 au lieu de u_0 = 3, alors la suite (u_n) serait convergente et sa limite serait égale à 4.