On va procéder par récurrence.

Pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\), on considère la propriété \(\displaystyle{P(n)}\) suivante :

\(\displaystyle{1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4}\)

Initialisation

On a :

On observe que :

\(\displaystyle{1 \leqslant 2 \leqslant 3 \leqslant 4}\)

Autrement dit, on a :

\(\displaystyle{1 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 4}\)

Ainsi, \(\displaystyle{P(0)}\) est vraie.

Hérédité

Soit \(\displaystyle{n}\) un entier naturel.

On suppose que \(\displaystyle{P(n)}\) est vraie.

On a alors :

\(\displaystyle{1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 4}\)

La fonction \(\displaystyle{f}\) étant croissante sur \(\displaystyle{] - \infty ; 5[}\), on en déduit :

\(\displaystyle{f(1) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(u_n) \leqslant f(4)}\)

Or :

On en déduit donc :

\(\displaystyle{1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 4}\)

Autrement dit, \(\displaystyle{P(n+1)}\) est vraie.

Conclusion

On a montré que :

\(\displaystyle{P(0)}\) est vraie ;
pour tout \(\displaystyle{n \in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{P(n) \Rightarrow P(n+1)}\).

On en conclut que \(\displaystyle{P(n)}\) est vraie pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\).